— 239 — 



что невозможно, а при четаом х 



пг* ± X = 8^, пг* а; = $1 = у 



п 2'пг' = 8^ -л- рі^, что также невозможно. Отсюда опять выведем, что ш есть 

 сумма трех квадратов. 



Пусть, наконец, т любое нечетное число. Существует простое число 

 _р = 3 (Моіі 8) и такое, что - — р есть вычет числа т. Для некоторого не- 

 четного показателя к опять можем полоиіпть 



так как ^9 представляется Формой а:^-^2у^ (§ 10, 2)), то из этого равенства 

 выводим, что 4иг'' представляется Формой х"^ -і- у^ -і-2^^, т. е. 



8ш''^ [2т 2 ) 2т. 

 есть сумма трех квадратов. Поэто.му и 2»і есть сумма трех квадратов, 



^.Е.I). 



§ 13. а) Пусть т целое число и 



■к = хі '\- у] -\- гіі, тг' = х'і -+- х'і -+- г' к 

 примитивные корни уравнения 



= — т. 



Если т= 1 или 2 (Мо(1 4), то уравнению . 



К-к = 7і'К (26) 



удовлетворяет целый ква.тех-інион К, норма которою взаимно-простая 

 с любым наперед заданным числом щ если же т=В (Мой 8), то этому 

 уравнению всеіда можно удовлетворить при помощи целою кватерниона, К, 

 норма которого взаимно-простая с любым нечетным числом п. 



Так как совокупность целых кватернионов К, удовлетворяющих урав- 

 нению (26) есть модуль, то достаточно доказать теорему для того случая, 

 когда данное число п есть число простое. Нетрудно проверить, что уравне- 

 нию (26) удовлетворяют кватернионы 







V- і{у — 



у') 



— Лх 



~х') 



0, = {у 





— 





к{х 



— х') 



0, = (х 



н- х) - 







— ^ІУ 



- у') 



ИРАРІ 1922 



