— 240 — 



а потому удовлетворяет п всякий кватернион вида 



где А^, целые рациональные числа. Норма кватерниона М есть ква- 

 дратичная Форма переменных Х^, \^ \: 



-+- 4 {у^' \ 4 (^ж' -н г'х) \\-\- ^ {ух' и- у'х) \ \ 



Мы покажем, что все коэффициенты этой квадратичной Формы не могут 

 одновременно делиться на нечетное простое число откуда и будет следо- 

 вать, что при некоторых Х^, \^ Лд норма Ж не делится на Положим, что; 



(а).. 



.(^-^ У)2 -•-(«/- 





х'у 



-0; 



ув' 



у'з = 







• •И 







г'У + (ж - 



х'у 



= 0; 



вх' 



■+■ 2'х = 



(Мой п). 



••Ф') 



(т).- 



. [х -ь х')^ -н — 



^У-л-Іу- 



у'? 



= 0; 



ух' 



-Ь у'х ЕЕ 







-.(у') 



Принимая во внимание равенства 



х^ -і- у^ -+- в^ = х'^ -+- у'^ -+- з'^ = т 

 находим, что сравнения (а), ([3), (у) равносильны следующим: 

 т = хх' = уу' = вз' (Мой п). . . (о) 

 Отсюда и из (а'), (^'), (у') выводим: 



(у' (2/" = (ж' -2') (^" '^") = у") (^" -^- 2/") = О (Мой п). . . (е) 



Если у^ -ь делится на >г, то при а; делящемся на и, из (8) п ([3') вы- 

 текало бы, что х\ у\ ^' делятся на м, что невозможно. Поэтому, а; не делится 

 на п и из сравнений х^^т^хх' ^ а также из (Р'), (у') выходит 



ж = а;', у у' ^ О, ^ -I- = О (Мосі п) . . . (уі) 



откуда и из (е) получаем 



ж> -н ^2 ^ О, «2 _^_ у2 ^ о, -+- у^ ^2 = 2.^2 = О, 



что невозможно. Если у^-л-г^ не делится на м, то у'^-\-/''^=0 и опять по- 

 лучаем сравнения (ѵ]), которые противоречат предіюложению. 



