— 241 — 



Остается еще при ш = 2 (Мой 4) рассмотреть случай «г = 2. В этом 

 случае, как легко проверить, один из кватернионов: 



1о ІО 1о + ^2-*-"з 



2 1' 2 а' 2 3' 2 2" 



будет целым кватернионом с нечетной нормой и удовлетворяет, следова- 

 тельно, поставленному условию. Теорема, таким образом, доказана. 



Ь) Если т — целое число и -к — уі гіс ѵргшгшшѳный корень 

 уравнения 



ТХ^ — — ш . 



то общий вид целых кватернионов К, удовлетворяющих уравнению 



Кті = — -кК (27) 



есть 



К =1 (іу — ^x) -ь [Л — кх) V — 



где 1, р., V — произвольные целые числа. 



Полагая Я" =^-+-гу]-*-.7'С -*-А;Ѳ, находим, что равенство (27) равно- 

 сильно следующим: 



Е = О, хгі уі = О (28) 



Отсюда видно прежде всего, что целый кватернион К, удовлетворяющий 

 уравнению (27) имеет целые коэффициенты. Так как ж, 2/, ^ не имеют общего 

 делителя, то общий вид целых чисел ѵ), 'С, Ѳ, удовлетворяющих уравнению (28) 

 есть: 



'П = \у ч- 

 'С = , — Хж -і- 

 О = — ]хх — \у 



где X, [Л, V произвольные целые числа, ^. Е. В. 



§ 14. Пусть тЕ:|=7 (Мо(1 8) целое число, не имеющее квадратных де- 

 лителе!!. Тогда, по доказанному в § 12 всегда существуют корни уравнения 



^ —т (29). 



Каждый из этих корней будет примитивным. Обозначая через т: один 

 из этих корней, мы рассмотрим область й(и) кватернионов, состоящую 

 из всех кватернионов вида №-4-?ѵтс, где а, Ъ — рациональные чиста и обра- 



ИРАН 1922 



