— 242 — 



тиыся к более подробному изучению соответствия между этой областью и 

 квадратичной областью В(\/ — т) (§ 9). Преяіде всего заметим, что целому 

 чпслу области В ( \/ — т) соответствует целый кватернион области В (тс) и 

 наоборот. Основной базис области В{\/ — т) состоит пз чисел 1 и ш, где 



ы^у—т. нри т = 1, 2 (Мосі 4) и со = ^ -^- при т=3 (Мой 8). 



Соответственно этому положим: 



= 7г, если т=1, 2 (Могі 4); 0=-?-^ если т=д (Мой 8), 



так что 1, О будет основным базисом области Віті). Каледому идеалу / 

 области і?(\/ — ш) соответствует в области В.ітС) некоторая совокупность 

 целых кватернионов, которую будем называть идеалом / в области Іі(7г). 



Пусть 3 — произвольный идеал области ^(\/ — ш); рассматривая этот 

 идеал в области В{тС)^ обозначим его базис через О^, Од. Кватернион т, пред- 

 ставляющий собою общий наибольший делитель справа кватернионов О^, О.^ 

 назовем соответствующцм идеалу Очевидно, что т не зависит от выбора 

 базиса идеала 3. По этому определению, каждому иде-алу квадратич- 



ной области соответствует один, вполне определенный кватернион т, или 

 точнее, группа кватернионов ет, где г пробегает все единицы. Очевидно, 

 что прпмарному идеалу соответствует примптивньш кватернион и обратно, 

 идеал, которому соответствует ііри^пітивпый кватернион, есть идеал при- 

 марный. Поэтому, если ^ есть наибольшее целое рациональное число, на ко- 

 торое делится данный идеал, то соответствующий этому идеалу кватернион 

 имеет делителем Пусть идеалу 3 соответствует кватернион т. Нетрудно 

 показать, что норма этого кватерниона равна норме идеала 3. Действи- 

 тельно, по только что замеченному, достаточно доказать справедливость 

 этого утверждения для примарного идеала 3. Пусть а, & О — базис 

 идеала / (а, /; — целые ращіональные числа). Так как а делится на т и т — 

 примитивный кватернион, то можно положить (§ 4 е)) № = -А/'(т), где а„ 

 целое число; далее &-4-0 = ^г, щш чем, по условию, кватернион^ не имеет 

 с общих делителей справа. Так как ІѴ(6 -ьО) = ІѴ(Е) ІѴ(г) делится на 

 а — а(^К(і), то ІѴ(^) делится на Оо ипотому (§ 4) = 1, N{1) = а = N(3), 



д. Е. В. 



Если идеалу 3 соответствует кватернион т, то всякий целый кватер- 

 нион области В (тг), делішщйся справа на т, принадлежит идеалу 3. Предно- 



