— 244 — 



реме а) § 13 можно найти кватернион норма которого взаимно-простая 

 с ІѴ(г) п для которого 



и' = і^Н. 



Кватернион перестановочен с т:. Среди кватернионов области В (тг) 

 мы нашли таким образом два: и тт, общий наибольпіий делитель которых 

 справа равен т. Поэтому, согласно замеченному выше, т соответствует не- 

 которому идеалу области Е(и). 



Пусть ^ п (7' = /X эквивалентные идеалы, рассматриваемые в области 

 Л(т:), так что Л имеет вид а-*- ^тг, где а, (3 — рациональные числа. Обозна- 

 чая через т кватернион, соответствующий идеалу ^, сразу видим, что ква- 

 тернион целый п соответствует идеалу ^'. Обратно, если >. = а -і- [Зтг, 

 где а, Р — рациональные числа, есть целый или дробньпі кватернион области 

 ^ (и), но такой, что тХ есть целый кватернион, то этот кватернион тХ со- 

 ответствует идеалу эквивалентному ^. Таким образом, совокупность 

 всех кватернионов, отвечающих идеалам некоторого определенного класса, 

 можно представить в виде тЛ, где т один из этих кватернионов, а X пробе- 

 гает все кватернионы области целые или дробные, для которых тХ 

 есть целый кватернион. Положив 



171 = 7і'т 



находим 



аХ.тг = тг'.тХ, 



так что для всех кватернионов тХ корень тг' в последнем равенстве остается 

 неизменным. Заметим, что гХ есть обиі,ее решение уравнения ттг = тг'т (в ко- 

 тором и, тс' рассматриваются, как данные). Это дает возможность каждому 

 классу идеалов привести в соответствие один (или несколько) корней уравне- 

 ния (29). Именно, мы будем говорить, что классу ^[ идеалов соош(?тш(?2/ет 

 корень 7г' уравнения (29), если для кватерниона т, соответствующего неко- 

 торому идеалу класса А имеем ітг = т^'т. Нетрудно видеть прежде всего, 

 что все корни уравнения (29), соответствующие одному и тому же классу 

 идеалов имеют вид етт'ё^ где тг' — один из этих корней, а е — единица. В са- 

 мом деле, если т — кватернион, соответствуюпщй некоторому идеалу класса А 

 и іте = 7і'т, то самый общий вид кватернионов, соответствующих идеалам 

 того же класса есть гтХ, где е едишща, X — целый или дробный кватер- 

 нион области В {-к) и етХ. тг = етс'ё. еіХ, ^. Д. В. Таким образом, каждому 

 классу идеалов соответствует одна определенная группа корней етг'е, где г 

 пробегает все единицы. 



