— 245 — 



В частности, главному классу идеалов соответствует, очевидно, грулна 

 Етгё. Из сказанного вьпле заключаем также, что одна и та же группа корней 

 не может отвечать двум различным классам идеалов. 



Предпололшм, что т = 1 или 2 (Мой 4) и ш > 1 ; тогда в каждой 

 группе содержится 12 корнеіі. На основании теоремы а) § 13 и теоремы, 

 доказанной в этом § заключаем далее, что в рассматриваедюм случае каягдая 

 группа етс'г корней уравнения (29) соответствует некоторому классу идеалов. 

 Это дает возмоліиость высказать следующий результат: 



Если ш = 1 , 2 (Мой 4) и > 1 , то 



ф(ш) = 12Л(ш), 



іде 1і{т) — число классов идеалов квадратичной области Е \/ — т) (пред- 

 полагая, конечно, что т не имеет квадратных делителей). 



Пусть теперь т = 3 (Мой 8) и ш> 3. В каждой группе опять имеется 

 12 корней. Но в этом случае не всякая группа корней отвечает некоторому 

 классу идеалов; именно, если тг' произвольный корень уравнения (29), то 

 нз двух групп 



еи'Т; — е-к'е 



одна и только одна соответствует классу идеалов. Пусть тир любые при- 

 митивные решения уравнений 



Т7Г - ітЧ; рт: = — и'р. 



Тогда тг тр = — тр. тг' и па основагопі теоремьі Ъ) § 1 3 



т"р = {іу' — Зоо') ]х (У — кх') -+- V — ку'} 



где X, іА, V целые рациональные числа и = іх ~\-^у' -+- Отсюда выте- 

 кает, что ІѴ(тр) = Л''(т) ІѴ(р) есть число четное и потому одна, по крайней 

 мере, из двух групп і-кі и — етс'Гне соответствует никакому классу идеалов. 

 Но одна из этих групп непременно соответствует некоторому классу идеа- 

 лов; пусть, в самом деле, т примитивный корень уравнения т- = 7г'т. Если 

 ІѴ(т) нечетное, то группа етг'ё соответствует классу идеалов. Если же ІѴ(т) 

 четное, то т = т^ (1 -н г), при чем N{1^ нечетное число. Общее решение 

 уравнения Кт! = — тг'й', указанное в теореме Ъ) § 1 3 показьгеает, что 

 можно найти кватернион для которого 



ИРАН 1922. 



