— 246 — 



причем N{^} есть удвоенное нечетное число. Положив р = -^, находим, что 

 р есть целый кватернион с нечетной нормой; кроме того 



ртг = — тгт = — 11 - г = — тір, 



так что группа — етс'ё соответствует некоторому классу идеалов. Итаі;: 

 Если 7П=3 (Мо(1 8), 7>г> 3 и не имеет квадратных делителей, то 



= 24/<(т), 



іде 1і,{т) число классов идеалов квадратичной области В{\/ — ш). 



§ 15. Излагая только то, что существенно необходимо для решения 

 вопроса о представленіш чисел суммой трех квадратов, мы не рассматривали 

 подробно указанного здесь соответствия между кватернионами и идеалами 

 квадратичной области. Известные свойства идеалов, как например умножение, 

 делимость и проч. без труда можно перенести и на соответствующие им ква- 

 тернионы. В известном смысле можно сказать поэтому, что кватернионы 

 дают реальное осуществление идеальных чисел квадратичной области. 



Область кватернионов с рациональными коэффициентами есть частный 

 случай области, состояні,еп из комплексных чисел вида. 



X -+- \/'Аіу ѴБІ^ \/АВЫ (31) 



где Л, Б целые числа, г, к — единицы Гамильтона, х, у, г, і — про- 

 извольные рациональные числа. Когда все идеалы этой области (за исклю- 

 чением некоторых определенных) главные, арифметические свойства ква- 

 тернионов вида (31) ничем не отличаются о т свойств обыкновенных кватер- 

 нионов. Таковы например случаи 



Л=1, В = 2; Л=1, В = д; А = 2, В = 2. 



В других случаях свойства кватернионов вида (31) сильно услояшяются. 



Петроград, 

 11 января, 1922 года. 



