— 262 — 



единица, из этого следует равенство дискришнантов сіг^* и с7р*, и так как 

 $0* лен^ит в порядке 0(р*), то следует, что 0(го*) = 0(р*). Пусть р*==:Л;р, 

 тогда разыскание всех решений уравнения — п, 1)=1 сводится 

 к разысканию всех решений уравнения: {ф^^ — рк^, пк, 1)=1, но это 

 уравнение эквивалентно, как мы видим, уравнению (1, — 8, г, 1)— 1, если 

 Ео* удовлетворяет уравнению г'^ = гг^ч-8з-*-1^ и значит в этом третьем 

 случае задача приводится к обратимой Форме. 



11. Теорема: « — ар-+-Ь-+-ап не может быть алгебраической еди- 

 ницей в кратном порядке^. Доказательство. Пусть уравнение, по § 5, 

 преобразовано так, что нет обратных решений, тогда, если — ар-+-Ъ-^- ап 

 единица, то, как двучленная единица, это степень прямой основной единицы 

 е = ар^ -I- &р -н с с показателем [л положительным и большим единицы, так 

 как — ар-і-Ъ-і-апфі. Итак г*^ двучленная единица. Нетрудно видеть, что 



г,!^"*"^ = ( — ар и- & -ь ап) (ар^ н- &р н- с) = 



= {аЬп -^Ъ^ — а^р — ас) р н- (асп -^Ъс — а^р) 



тоже двучленная единица. Если преобразовать {^, — р, 1) при помош,и 

 подстановки 



/ а, Ь -+- ап\ 

 \Ъ —а ) 



где а И у удовлетворяют уравнению а (& -ь ап) -+- ау = 1 (а и Ъ ап 

 взаимно-простые, так как — ар -*- & -н ап единица); то корень X, пре- 

 образованной Формы (^, по § 3 , окажется равньш, ар^ -ч- н- так как 



и — — Р=: а; ѵ = ^ -л- Рп = Ъ -л- ап — ап, 



где зависит от выбора а и у; подобрав так а и у, чтобы = с, для чего 

 достаточно взять а = аЬп -+-Ъ^ — а^р — ас, у = асп -л-Ьс — а^р мы полу- 

 чаем, что корень ^ Формы /"^ есть е. Преобразуем далее эту Форму /"^ имею- 

 шую корень 6 при помощи г, т. е. при помопщ подстановки 



(г о)' 



где можно взять у = — 1, а = 0; корень ѵ] преобразованной Формы /'^ 

 тогда, по § 3, будету] = е~\ Итак для /"д мы получаем, что гі^'*'^ дву- 

 членная в О (у)) единица, где у) корень /д. Предполоя^им теперь, что О (о) 

 кратный порядок, т. е. что р = й;ро где Р(, целое алгебраическое число, и 



кф±1, тогда У) = — а' р" -ь р -+- с' = /с {а кро^ -+- У р,,) -н с', 



