— 274 — 



Мы будем рассматривать единицы с положительной нормой. 



Из двух таких единиц е и мы будем называть «прямой» ту, которая 



меньше 1 , а другую «обратной». Легко вычислить, что коэффициенты обратной 

 единицы равны: 



м' = р^ — мд; р' = М^^ — рд-, д' = д^~мр^ (з) 



2. Замечание: «/?се три коэффициента М',Р', больгае нуля». 

 Доказательство. Из (2) и (3) легко получить такое соотношение 



мр'^ м' Рд ч- дд' = 1 (4) 



Все три коэффициента прямой единицы не могут быть положительны, 

 так как >> 0. 



1) Пусть Ж=0; Р>0; $<0 или Ж=0; Р<0; ^>0 



или 



Ж>0; Р=0; ^<0 или М<0; Р=0; д>0 



непосредственно из (3) мы убеждаемся, что Ж'> О, Р'> О, 0. 



2) ПустьЖ>0; Р>0; ^<0; тогда из (3) Ж'> О и Р'>0, 

 и следовательно из (4) > О, 



3) Пусть М>0; Р<0; ^> 0; тогда из (3) Р'>0 и (?'>0, 

 и следовательно из (4) Ж' > 0. 



4) Пусть, наконец, Ж<0 ; Р> О ; ^> О ; тогда из (3) Ж' > О и > О 

 и следовательно из (4) Р* > 0. 



Все остальные возможные случаи сводятся на рассмотренные ч. и т. д. 



Пусть ~ а { Ѵ^ уУ -і- Ъ д ч- с положительная прямая основная 

 единица порядка 0( і/'д). Из сделанного замечания следует, что только ее 

 степени могут давать едішицы вида X д -і- У, так как в степенях обратной 

 единицы ни один из коэффициентов не может выйти нулем, так как а', Ъ', с' м. д 

 числа полон«ітельные. Задача решения уравнения Х^д-^ У^=1 сводится 

 таким образом к разысканию тех целых положительных показателей т, 

 при которых [а {І^ ду -^- Ъ д имеет вид ХѴ д-^ Г, т. е. будет 

 «двучленной» единицей. 



3. О степенях двучленной единицы. 



Теорема : аНикакая степень единицы вида РУ д-л- д или вида 

 М[У' ду -ь д не может быть вида ХУ^ д -+- І^». 



