— 276 — 



держания р в оставшихся множителях знаменателя, меньше степеші ко- 

 торая прибавится вследствие содержатш р ъ ^, так как даже если 

 ^ = 2, то > 5; /)® > 8; > 11 и т. д.; итак, все члены делятся на 

 р , а первьга лишь на р , следовательно равенства невозможны, ч. и т. д. 



Как мы видим, для случая 2 = 2, предложенное доказательство не 

 годится, так как | ^ | = 1 ; но этот случай относится к уравнению 2 Х'н- Г"' = 1 , 

 которое как раз уже решено Эйлером, показавшим при помощи способа 

 Гегтаі; «йе 1а йезсеп^е іпйпіе ои іікіёйпіе», что это уравнение, кроме ре- 

 шений Х=0, Т= I] Х = 1, У= — 1 не имеет никаких других не 

 только целых, но даже и дробных решений; (АІ^еЬга Кар. 15). Таким 

 образом теорема оказывается справедливой п для случая 2 = 2 и, следова- 

 тельно, доказана во всей полноте. 



Следствие: «Если сама основная единица уже вида Ъ У д с, то 

 уравнение имеет одно и только одно решение X = &, Т= с ; если же 

 основная единица вида а д)^ -+- с, уравнение Х^д-і- У = 1 вовсе не 

 имеет решений (кроме тривиального, конечно, X = О, Т= 1)». Основная 

 единица имеет вид ЪУ" д-+-с, напр. для д= 2; 7; 17; 19; 26; 28; 37; 43; 

 63;65;9;20...; так что, например, уравнение 17 . Х^ и- =1 имеет 

 только одно решение Х = — 7, Г=:18. 



Основная единица имеет вид а(у'д)^-»-с, напр. при 2 = 3; 39;. . . 

 Перейдем теперь к тому случаю, когда основная единица трехчленная, 

 т. е. ни а, ни Ъ не равны нулю. 



4. Теорема: ((Квадрат единицы не может быть вида ХУ'д-ь- У». 

 Доказательство. Пусть М {'Р' дУ -і- Р 'Р' д -+- ^ единица и ее квадрат 

 вида ХІ^ д-*- У, тогда 



М^д^ Р^д -н _ ^мРдд = I (1) 



и 



Р2 _^_ 2М^ = (2) 



Покажем, что уравнения (1) и (2) несовместимы ни в каких целых 

 числах М, Р, ^ и д. Из (2) следует или 



1) ^ = М = — 2л\ Р = ± 2ау; 



или 



2) ^ = _ у2, М= 2а.\ Р = ± 2ау; 



или 



3) ^ = 2у2, М = — Р = ± 2ау; 



или 



4) ^ = — 2у\ М = оі\ Р = ± 2ау, 



