— 282 — 



6) цвет прибавляемого шара для одной задачи а) совпадает с цветом 

 вынутого из второго сосуда, а для другвй Ь) обратен, т. е. черный, если 

 вынут белый, и белый, если вьніут черный шар. 



Спрашивается, какие предельные заключения можно сделать о числе 

 белых шаров, извлечешіых при таком обмене из обоих сосудов, если число 

 операций увеличивается беспредельно. 



Обозначив символом Р„ ^ р вероятность, что при п операциях будет 

 извлечено а белых шаров из первого сосуда и ^ белых шаров из второго 

 сосуда^ без особого труда получаем уравнение для перехода от п операций 

 к м и- 1 операциям 



где в случае а) : Е = {п -\- а -\-Ъ) {с -\- д)^ 



А = {п^Ъ — ^){а-*-^ — а\ Б==(»г-ч-& — р-н 1) (с н- а — ^ -н 1), 

 (7 = (а-+-[3) (б^-ьр — а-+- 1), = (3— 1) (с-ьа — 



и в случае Ь): Е = {п -\- а -л- Ъ) (с -ь с?), 



Л = (&-4-р) (с^-і-р — а), Б = (3—1) (СИ- а — (5-1-1), 



С = {п-^а — ^) — а-ь 1), 1) = (п-і-« — (З-ь-1) (сн- а — (3) 



Числа сі-\~^ — а. ч с-на — р должны быть положительными и по- 

 тому разность а — ^ обязательно лен^іт в конечных пределах: — с,~\~й. 



Нетрудно также заметить, что при нашем предположении относительно 

 а, &, с, вероятность извлечения белого шара при каждой операции для 

 обоих сосудов имеет одну и ту же величину 



а с 1 



1 . 

 и тому же числу — равна вероятность ^ = 1 — р извлечения черного шара. 



Отсюда вытекают точные равенства 



мат. ож. а = мат. ож. ^ = пр — -^п,, мат. ож. а — ^ = 0. 



Такие замечания служат нам основанием в предельных вьшодах огра- 

 ничиться числом р. Для полного установления второй предельной теоремы 

 следовало бы рассмотреть мат. ожид. — пр)''' при всех значениях полонш- 

 тельного целого числа Д; но мы ограничимся только }і = 2, что позволит 



