I. Definition et proprieties elementaires. 



Soit a un nombre entier satisfaisant a l'inegalite 



(1) a>3, 



le nombre polygonal r Ume de l'ordre a, que nous designons par P(a,r) , 

 ■est, d'apres la definition 1 ), egal a la somme des r termes de la progres- 

 sion arithmetique 



1, a — 1 , 2a _ 3 , 3a — 5, ..... (r — l)a — 2r + 3 , 



dont le premier terme est l'unite et dont la difference est egale a a — 2 . 

 Par suite nous aurons 



(2) P(a,r) = ^ - 2 >' 2 - ( a - 4) I 



sous la supposition, que r soit un nombre entier positif. II est cepen- 

 dant preferable d'etendre la notion de nombre potygonal aux cas, ou le 

 nombre r est negatif ou nul, et nous etablirons dans ce memoire la 

 definition suivante: 



Definition. Soit a un nombre entier, superieur ou egal a, 3 , nous 

 designons par les nombres polygonaux de l'ordre a tous les nombres, qu'on 

 obtient de I' expression 



(a_2)r 2 _(a-4)r 

 P(a,r) = ^ I — -_i , 



en y faisant r successivement egal a tons les nombres entiers positifs et 

 negatifs et nul. 



1) Voir Die Arithmetik arid die Schrift iiber Polygonalzahlen des Diophantus 

 von Alexandria. Ubersetzt und mit Annierkungen begleitet von G. Wertheim. 

 Xieipzig 1894. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 



