2 A. Berger, 



II s'ensuit de cette definition, que tous les nombres polygonaux 

 sont des nombres entiers positifs ou mils, et que P(a,r) ne s'evanouit 

 que pour r = et pour r = — 1 , si a = 3 . Nous appelerons le nombre 

 entier a, qui entre dans lexpression P(a,r) l'ordre du nombre polygonal 

 P(a,r) , et de meme nous appelerons le nombre r le rang du nombre 

 polygonal P(a,r) . Les nombres polygonaux de l'ordre a forment une 

 progression a double entree 



....6a — 15, 3a — 8, a— 3,0, 1, a, 3a — 3,6a — 8, 10a— 15,... 



Les nombres polygonaux de l'ordre troisieme, quatrieme, cinquieme r 

 sixieme .... sont aussi appeles nombres triangulares, carres, pentagonaux, 

 liexagonaux .... 



De la definition ci-dessus on deduit immediatement les formules 

 suivantes : 



(3) P(a,0) = , P(a,l) = 1 , P(a,- 1) = a - 3 , P(a,2) = a , 



v V (4) P(a,r)-P(a , ,-r_l) = -(a-3) (2r-f.l) , ; '^[^ 



(5) P(a , r) - P(a , _ r) = _ (a - 4> , 



(6) P(a,r) _ P(a,- r + 1) = 2r - 1 , 



(7) P(a,r)-P(a,_r + 2) = a(r-l) . 



Table des nombres polygonaux pour 3<ra<10, — 6 < r < 7 . 



r 



- 6 



- 5 



-4 



- 3 



- 2 



- 1 







1 



2 



* 3 



4 



5 



6 



7 



P(3,r) 



15 



10 



6 



3 1 



1 











1 



3 



6 



10 



15 



21 



28 



P(4,r) 



36 



25 



16 



9 



4 



1 







1 



4 



9 



16 



25 



36 



49 



P(o,r) 



57 



40 



26 



15 



7 



2 ' 







1 



5 



12 



22 



35 



51 



70 



P(6,r) 



78 



55 



36 



21 



10 



3 







1 



6 



15 



28 



45 



66 



91 



P(7,r) 



99 



70 



46 



27 



13 



4 







1 



7 



18 



34 



55 



81 



112 



P(8,r) 



120 



85 



56" 33 16 



I 1 



5 







1 



8 . 



21 



40 



65 



96 



133 



P(9,r) 



141 



100 



66 



39 



19 



6 







1 



9 



24 



46 



75 



111 



154 



P(10,r) 



162 



115 76 45 22 



7 



1 



10 



27 



52 



85 



126 



175 



