Recherches sur les Nomrres Polygonaux. 3 



Pour les nombres polygonaux du meme ordre nous obtiendrons de 

 la definition les relations 



(8) P(a,r + 1) - P(a,r) = (a - 2) r + 1 , 



(9) P(a,r + 2) - 2P(a,r + 1) + P(a,r) = a _ 2 , 



(10) P(a,r + 3) - BP(a,r + 2) + 3P(a,r + 1) - P(a,r) = , 

 •et pour les nombres polygonaux du meme rang nous aurons 



(11) P(a + l f r)-P(a,r)=^-l\, 



(12) P(a + 2,r)-2P(fl+ l,r) + P(a,r) = . 



Maintenant nous examinerons, si deux nombres polygonaux P(a,r) 

 et P(a,s) du meme ordre a puissent etre egaux. De l'equation 



(13) P(a,r) = P(a,s) 

 on tire, d'apres la definition, l'egalite 



(14) ( a _2)r 2 -(a_4)r = (a- 2> 2 _ (a _4)s , 

 qu'on peut mettre sous la forme 



(15) (r_*)jr + *-^i( =0 . 



( a — 2) 



En supposant que r^s, nous obtiendrons de l'equation (15) 



a - 4 



(16) r + * = 



2 ' 



ce qui exige, que la fraction, qui se trouve dans le second membre, 

 soit un nombre entier. Les seules solutions permises de l'equatiori (13) 

 seront done 



(17) a = 3 , s = — r—l 



et 



(18) a = 4 , s = — r , 

 et de l'equation (13) nous obtiendrons 



(19) P(3,r)=P(3,-r_l), P(4,r) = P(4, _ r) , 



