4 A. Berger, 



formules, qui peuvent aussi etre d6duites des Equations (4) et (5). Ces- 

 deux cas sont, par suite, les seuls, ou deux nombres polygonaux de 

 meme ordre mais de rangs differents sont egaux entre eux. On ert 

 conclut, que si dans l'expression 



/r\r\\ th \ ( a — 2)r 2 — (a — 4)r 

 (20) P(a,r)=^ L-^l U 



r est egal successivement a tous les nombres entiers, nous en obtien- 

 drons pour a = 3 tous les nombres triangulares et chaque nombre trian- 

 gulaire deux fois; ' pour a = 4 nous obtiendrons de cette maniere tous 

 les nombres carres et chaque nombre carre (excl. 0) deux fois; pour 

 a ^ 5 nous obtiendrons de meme tous les nombres polygonaux de l'ordre 

 a et chaque nombre de cette espece une seule fois. De plus on con- 

 clura, que pour a = 3 nous obtiendrons de l'equation (20) tout nombre 

 triangulaire une seule fois en y faisant successivement r = 0, 1, 2, 3, ... . r 

 et que pour a = 4 nous obtiendrons de la meme equation tout nombre 

 carre une seule fois en y substituant successivement r = 0, 1, 2, 3, ... . 



Pour les valeurs speciales nous obtiendrons de l'equation (20) les 

 formules suivantes: 



(21) P(3 , r) = r -±- , P(4 , r) = r 2 , P(5 , r) = *£^t ,-P(6 ,r) = 2 r * - r , 



P(7,r) =il?ZZ^ , P(8,r) = 3r 2 _2r , P(9,r) = , P(10,r) = 4r 2 -3r .. 



En posant pour | x \ < 1 

 . (22) S=2 P{a,r)x r , 



nous en obtiendrons, apres avoir multiple les deux membres par 1 — x r 



(23) {l-x)S= Y P(a , r) x r - If P(a , r) x r+1 



ou, si Ton remplace r par r -j- 1 dans la premiere somme du second 

 membre, 



(24) (1 - x)S = P(a,l)x +' v" {P(a,r + 1) - P(a,r)}.^ +1 



ou, d'apres les formules (3) et (8) , 



