Recherches sur les Nombres Polygonaux. 5 



(25) (1 — x) S = x +% { (a - 2) r + 1 } x r+1 



r=i 



et par suite, en executant la sommation dans le second membre, 



(26) (1 _ x) s = * + ( " ~ 2) ;f + 



ou, d'apres ['equation (22), 



En posant pour | x | < 1 



(28) S, =7 -P(a,-rK , 



nous en tirerons, en multipliant par 1 — x et en observant que P(a,0) = 



(29) ( 1 - x) S, = r Z P'a , - r) * r - P(a , - r) x r+1 



r=0 



et par suite, en remplacant r par r — 1 dans la derniere somme di 

 second membre, 



(30) S, = X {P(a , - r) - P(a , - r + 1) } or" 



r=l 



ou par application de la formule (8), apres avoir y remplace r par — r 



(31) (l— = = f {{a-2)r-\}x r 



r=l 



et, par suite, 



(32) (l-aQSx = m ~ 2) f 



(1 _ a>) 2 1 _ a; 

 ou, d'apres l'equation (28), 



(33) 7 P(a, - r)x r = ^1±^T . 



r=i (i — *r 



Des equations (27) et (33) nous obtiendrons ce theoreme. 



