6 A. Berger, 



The or erne I. Si Von designe par a un nombre entier, super ieur ou 

 egal a 3, et par x une quantite, qui satisfait a Vinegalite 



\x\< 1 , 



ou aura 



et 



r-i (1 — xf 



De la formule (2) on deduit immediatement les inegalites 



(34) P(3,r - 1) = P(3, _ r) < P(3,r) pour r £ 1 , 



(35) P(4 , - r + 1) < P(4 , r) = P(4, — r) pour r > 1 , 



(36) P(a, — r + 1) < P(a,r) < P(a, — r) pour r ^ I , a > 5 , 



et en y faisant successivement r= 1, 2, 3, 4, . . . nous aurons les for- 

 mules 



(37) P(3, 0) = P(3, - 1) < P(3, 1) = P(3, - 2) < P(3,2) = P(3, - 3)< P(3,3) = . . . , 



(38) P(4, 0) < P(4, 1 ) = P(4, - 1) < P(4,2) = P(4, _ 2) < P(4,3) = P(4, _ 3) < . . . , 



(39) P(a, 0) < P(a, 1) < P(a, _ 1) < P(a,2) < P(a, - 2)< P(a,3) < P(a, - 3) < . . . , 



par lesquelles les nombres polygonaux du meme ordre sont ranges 

 d'apres leurs grandeurs. 



Maintenant nous evaluerons la somme de la serie 



x , 1 



r P(a,r) 1 



ou r est egal successivement a tous les nombres, pour lesquels P(a, r) 

 obtient des valeurs positives et chaque valeur une seule fois. D'apres 

 ce qui est dit auparavant, nous calculerons done les sommes des trois 

 series 



