Recherches sur les Nombres Polygonaux. 9 



ou Ton designe par a un nombre entier superieur ou egal a 3. En 

 transformant ce produit en nne serie ordonnee suivant les puissances 

 positives et entieres de la variable z, nous obtiendrons nne egalite de 

 la forme 



(53) F(z) J~i A r z r , 



r=0 



ou il reste a determiner les coefficients A,., qui ne dependent pas de z. 

 Rempla^ons pour cet effet z par q a ~ 2 z , nous obtiendrons de l'equation (52) 



(54) F(q a ~ 2 z) = (1 + <f~ l z) (1 + q 2a ~ 3 z) (1 + q 3 '- 5 z) 

 et des equations (52) et (54) on tire 



(55) F{z) = {l + qz)F{q°-*z) 

 et, par consequent, d'apres l'equation (53) 



(56) T J A r z r = (1 + qz)^ A r f~ 2)r z r '% A r r f~ 2)r z r + 7£ A r f~ 2)r * r z r+1 



r=0 



ou, si Ton remplace r par r — 1 dans la derniere somme dans le second 

 membre, 



(57) ^ ^U r = "J + Y ^ r _ 1 ^- 2) ''- a+3 e r . 



En 6galant entre eux les coefficients de z r dans les deux membres 

 de cette equation, nous en deduirons pour r > 1 



(58) A r - A r .q' a - 2)> - + A r _ iq ia - 2)r - a+3 , 

 d'ou Ton tire 



7 (a-2)i;— o+3 



(59) A r = A r _ x 



q 



1 - q (a - 2)r 



Remplacons r successivement par r, r — 1 , . . . . 3, 2, 1 dans 

 l'equation (59), nous obtiendrons par multiplication des Equations ainsi 

 obtenues et en observant, que A = 1 , 



(a— 2)r 2 — (a— 4)r 



(60) — v / - g 



(1 _ (1 _ ? 2<°-2>) (1 _ ? -(«- 2 >) 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



