Recherches sur les Nombres Polygonaux. 11 

 Si Ton designe par x line quantite, qui satisfait a la condition 



(66) \x'<l , 



ot par i l'unite positive ou negative, nous obtiendrons de la formule (65) 

 par les substitutions 



a a 



(67) f , z = s'J~* 

 1'egalite 



(68) jjf (1 - # ( °~* )r ) (1 + £# (a - 2)r - 0+s ) (1 + ex'"- 2>r - 1 ) = F= Z eV™ . 



Theoreme IV. Soit a un nombre entier superieur ou e'gal a 3, x 

 une quantite, dont la valeur absolue est inferieure a 1 , et designons par e 

 l'unite positive ou negative, nous aurons 



[] (1 _ x '«- i)r ) (1 + ex (a - 2)r - a+ "') (1 + m*"-*"- 1 ) = 2 « r 



r= — oc 



Introduisons dans cette equation successivement 



(69) a = 3 , 6 = —J— 1 ; a = 4 , c = — 1 ; a = 5 , e = — 1 ; a = 6 , e= -{- 1 , 

 nous en deduirons les quatre formules suivantes: 



(70) "jf ci - o (i + o (i + o = T ^ 3 - r) , 



r=l r= — k 



(71) n" (1 _ x 2r ) (1 - a- 2 '- 1 ) (1 _ x 2 '- 1 ) = T (_ iyx^- r) , 



r=l r= — ao 



(72) n (i - # 3r ) (i - « 3r r 2 ) (i - * 3r_1 ) = "2 (- i) r * i>l5,r) , 



r = l r= — co 



(73) If (1 _ x ir ) (1 + x ir ~*) (1 4- a,- 4r -') = 2* x m ' r) ■ 



r—t r= — oo 



Maintenant nous simplifierons les premiers membres de ces equa- 

 tions. Puisqu'on obtient tous les iiombres entiers positifs des deux ex- 

 pressions 2r — 1, 2r , si Ton y remplace r successivement par tous les 

 nombres entiers positifs, on aura l'identite 



