16 A. Berger, 



The or erne VI. Soit x une quantite, qui satisfait a Vinegalite 



< 1 , 



x 



ou aura 



log 2 = I -r^ , 



log v (- l) r x P(4 ' r) = - 2 Z x - 



2i-l 



" (2,9-1) (l-^- 1 ) 



log V („ iy x ^r) = _ y 



" .5(1 - X S ) 



Cela etabli, nous transformerons les seconds membres de ces trois 

 equations en des series, ordonnees suivaDt les puissances positives et 

 entieres de la variable $. De la premiere Equation on tire 



r=0 5=1 5 r=l 



(ioo) log 2 x™' r) = 2-2 (- i) r -V s 



ou, en changeant l'ordre de sommation dans le second membre, 



r= go ?'=go 5=co rs 



(101) log 2 ^ 3 ' r) = I (- l)'" 1 2 - • 



r=0 r=l 5=1 S 



De rneme nous obtiendrons de la seconde formule du theoreme 

 precedent 



(102) log Y (- iyx m ' r) = - 2 Y 9 — - 2V (2s_l) 



ou 



r = co r= co 5=oo r(2s — 1) 



(103) log 2 (- ly** 4 *? = - 2 2 2 



,=i ,,=i 2 s — 1 



Puisque la quantite" 1 — (— l) s est egale a ou k 2, suivant que le 

 nombre s est pair ou impair, l'equation (103) peut s'ecrire 



(104) log 2 (- i) r x P(i ' r) = - 2 2 ~ 



X 



