Recherches sur les Nombres Polygonaux. 



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De la troisieme formule du theoreme precedent on deduit 



(105) log 2 (_ 1) 



1 



J- VI 



r^P(5,r) _ V _ V ^rs 



OU 



(106) log Z (- IJx 



r P(b ,r) V V 



= — — u 



s 



Pour la transformation des seconds membres des trois equations 

 (101), (104), (106) nous nous servirons d'une formule generale, que nous 

 demontrerons ici. Designons pour cet effet par f(r) et f\(r) deux fone- 

 tions bien determinees pour tous les nombres entiers positifs r, et soit 

 x une variable, on aura evidemment une egalite de la forme 



CO S= CO k=CC 



(107) 2 2/W/i(*K= 2 erf 



pour toutes les valeurs de la variable pour lesquelles les series con- 

 vergent independamment de l'ordre de leurs termes. En effet, attribuons 

 dans le premier membre a r et a, s toutes les valeurs entieres et posi- 

 tives, et combinons entre elles ces valeurs de toutes les manieres pos- 

 sibles, nous n'obtiendrons de 1'exposant rs que des nombres entiers po- 

 sitifs k ; quant au coefficient c k , celui-ci sera evidemment determine par 

 l'egalite 



(108) c* = 2 lf{r)/ x (s) , 



r s 



ou. les nombres entiers positifs r et s sont combines entre eux de toutes 

 les manieres, qui sont compatibles avec la condition 



(109) rs = k ■ 



si Ton design e par d un diviseur positif du nombre k et par d' le divi- 

 seur complementaire, de sorte que Ton aura toujours 



(110) dd' = k , 



l'equation (108) pourra done s'ecrire, d'apres la notation de Kronecker, 



(HI) * = 1 /(<*)/, (<0 , 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 



