Recherches sur les Nombres Polygonaux. 21 



k - 1 



sera egale k la totalite des nombres polygonaux de l'ordre a, qui divi- 

 sent le nombre k; on aura done 



ou. r est egal successivement a tous les nombres entiers positifs pour 

 a = 3 et pour a = 4 , mais egal a tous les nombres entiers positifs et 

 negatifs pour a ;> 5, 



Rempla<jons A; successivement par 1 , 2, 3, . . . n — 1 , n dans l'equa- 

 tion (128), nous obtiendrons, par addition des egalites ainsi obtenues. 



( 129) p00^(00^ 



ou, en executant la sommation par rapport a k , 



(130) l\(a,k)=y i E( 



^P{a,r)> ' 



ou n designe un nombre entier positif quelconque. 



Puisque le nombre E^^ — — ) s'evanouit pour toutes les valeurs du 



nombre r, pour lesquelles P(a,r)>?i, il suffit, que dans le second mem- 

 bre de l'equation precedente r parcourt les nombres entiers, qui satis- 

 font aux inegalit^s 



(131) l<P(a,.r)<n , 

 et , en outre, a l'ineg'alite 



(132) r>/l , 



si a est egal a 3 ou a 4. 



Maintenant nous distinguerons les trois cas suivants: 



1) Pour a = S on deduit des formules (130), (131), (132) 



k—n 



(133) 2 y(3 r A) = 2 E 



k = l r=l A^lV 



