Recherches sur les Nombres Polygonaux. 23 

 2) Pour a = 4 nous obtiendrons des formules (130), (131), (132) 



(142) _2 1P (4,l»)_2J?(^2_ 5 ), 



i=l 



ou r, est le plus grand des nombres entiers positifs, qui satisfont a 



l'inegalite 



(143) P'^r x )<n , 



et, par consequent, le nombre entier positif r, sera donne par les ine- 

 galit^s 



(144) P(4,r J )^w<P(4,r 1 + 1) 



ou 



(145) r\ < n < (r t + l) 2 . 



Appliquons maintenant la formule (137) a liquation (142) nous 

 en deduirons 



(146) 2>(±>) = ^2 pT^T, " 2? * > 

 ou < Q r < 1 , et par suite 



(147) -2^) = !-^-^ , 



ou la quantity qui est la moyenne arithmetique des quantites Q r , est 

 une fraction propre. 



Pour n = oo ou deduit de l'equation (147), en ayant egard aux 

 inegalites (145), 



(148) lirn 1 lV(4^)=Yp~-, 

 ou, d'apres le theoreme II, 



(149) liml ZVCMO- 3 * 2 • 



72 = CO ?2 J. — t 



