Recherches sur les Nombres Polygonaux. 



25 



r et rj tendent vers l'infini, et que les quotients — et — tendent vers 



n n 



zero. Par consequent nous obtiendrons de l'equation (158) pour 



Km- % <p(a,k) = 21 — - 



n=»« /6=1 r= _ 00 r(a,r) 



ou, d'apres le theoreme II, 

 (159) 



lim - Z <p(a,k) = -± -\ cot . 



n=*n k=l (a — 4) 2 a — 4 a — 2 



Des equations (141), (149), (159) nous obtiendrons le theoreme 



suivant. 



Theoreme VIII. Chaque nombre entier positif a, en moyenne, 2 



r 2 



diviseurs triangulaires et ~ diviseurs quadratiques; si a est superieur on 



egal a 5, le nombre des , diviseurs polygonaux de Vordre a d\m nombre en- 

 tier est, en moyenne, egal a 



2 (a — 2 ) 2n_ 



(a — 4) 2 + a - 4 



cot 



2n 



Maintenant nous ferons usage du theoreme VII pour la deduction 

 de quelques proprietes des fonctions arithmetiques y s (k) , y 4 (k) , y s (k) . 

 Nous donnons ici une table des valeurs de ces trois fonctions pour 

 1 < & < 17. 



Table des fonctions y z (k) , tpi(k) , y 5 (k) , pour 1 < k < 17. 



k 



1 



2 



3 



4 



5 



6 . 



7 



8 



9 



10 



n 



12 



13 



14 



15 



16 



17 



<P*{k) 



1 



- 1 



4 



- 5 



6- 



- 4 



8 



- 13 



18 



- 6 



12 



- 20 



14 



-8 



24 



- 29 



18 





2 



4 



8 



8 



12 



16 



16 



16 



26 



24 



24 



32 



28 



32 



48 



32 



36 





1 



3 



4 



7 



6 



12 



8 



15 



13 



18 



12 



28 



14 



24 



24 31 



! 



18 



De la premiere formule du theoreme VII on tire par differen- 

 tiation 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 



