26 A. Berger, 



(160) If** 8 '" . k= i^{k)x'- 1 = , '2°P(3,r)^ (3 -'- ) - 1 



r=0 1 = 1 r = 



ou, en multipliant les deux membres par x , 



(161) (l+^ + .r 3 + ^ 6 + ^ 10 -) )*2 = P(3,r> F(3 ^ . 



k=\ r=l 



Soit n un nombre entier positif quelconque, et egalons entre eux 

 les coefficients de x n dans les deux membres de liquation (161). Le coef- 

 ficient de x n dans le premier membre est egal a la somme 



ipz{n) + t/j 3 (n — 1) + ip 3 (n — .3) -f ip 3 (n — 6) + xp^n — 10) -f- . . . 



qui doit etre continuee tant que les nombres n , n — 1 , n — 3 , n — 6 , 

 . . . . sont positifs. Dans le second membre de l'equation (161) le coef- 

 ficient de x n est egal a , si n n'est pas un nombre triangulaire, mais 

 d'ailleurs egal a n. Par la nous avons demontre le theoreme suivant. 



Theoreme IX. Soit n un nombre entier positif, et formons une 

 suite de nombres entier s 



n , n — 1 , n — 3 , n — 6 , n — 10 , . . . . 



de la maniere, qu'on diminue le nombre n par tous les nombres triangulares 

 inferieurs an, la somme 



Vs(w) -f tp H (n — 1) -f ip 3 (n — 3) + ip 3 {n — 6) + ip 3 (n — 10) -4- . . . 



sera egale a , si n nest pas un nombre triangulaire, mais egale a n , si n 

 est un nombre triangulaire. 



Exemple 1. Pour n = 9, 10, 11 on en obtiendra 

 ^(9) + v.(8) +^(6) + ^(3) = , 

 ^(10) + i//,(9) + y (7) + v>(4) = 10 > 

 ^,(11) + ^(10) + v»(8) + ^(5) + ^(1) = . 



Exemple 2. Pour w = 14 , 15,16 on aura 



V 8 (14) + Vs(13) + Vs(ll) + V8( 8 ) + Vs( 4 ) = ° , 

 Vs(15) + Vs( 14 ) + V»( 12 ) + Vb(9) + V»W = 15 , 

 Vs(16) + Vs05) + Vs(13) + ¥»UP) + V> 3 (6) + = • 



