Recherches sue les Nombres Polygonaux. 



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Par differentiation nous obtiendrons de la seconde formule du 

 theoreme VII 



(162) 2 (-i) r ^ 4,r) . Zfyik)**- 1 = - £ (- \yP{±,r)x l 



,/>(4 . r,-1 



1 



i=l r= — x 



d'ou Ton tire, en inulti pliant les deux membres par - , 



(163) (i -x+x*-x»+:x x *- . . : )' = f ip^kjx 1 = - Y(- l) r P(4,r)^ 4 - 



r) 



Maintenant nous egalerons entre eux les coefficients de x n des 

 deux membres de cette equation, n etant un nombre entier positif quel- 

 conque. Le coefficient de x n clans le premier membre est egal a la 

 somme 



^(n _ 1) + tp 4 ( n _ 4) - <// 4 (n - 9) -f xp^n - 16) - ... . , 



qui doit etre continuee tant que les nombres n , n — 1 , n — 4 , n — 9 , 

 . . . restent positifs. Le coefficient de x n dans le second membre de 

 l'equation (163) est egal a , si n n'est pas un nombre carre, mais egal 

 an, si n est un nombre carre de rang impair, et egal a — n , si n est 

 un nombre carre de rang pair. Par suite, le coefficient de x" est egal 

 a ( — l) n ~ l n , si n est un nombre carre quelconque. De ce qui precede 

 resulte ce theoreme. 



Theoreme X. Designons par n un nombre entier positif quelconque. 

 et formons une suite de nombres entier s 



n , n — 1 , n — 4 , n — 9 , n — 16 , . . . . 



de la maniere, quon diminue le nombre n par tous les nombres Carres in- 

 fer ieurs an, la somme 



^M- rp (8 - 1) + y&n - 4) - ^(n - 9) + ^(n - 16) 



sera eg ale a 0, si n nest pas un nombre carre, mais eg ale a ( — 1)" 1 n 

 si n est un nombre carre. 



