Recherches sur les Nombres Polygonaux. 



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coefficient de x" est egal k , si n n'est pas un nombre pentagonal, mais 

 egal a n , si n est un nombre pentagonal de rang impair, et egal a — n, 

 si n est un nombre pentagonal de rang pair. Nous aurons done le theo- 

 reme suivant. 



Theoreme XI. Soit n un nombre entier positif, et formons une 

 suite de nombres entier s 



n , n — 1 , n — 2 , n — 5 , n — 7 , n — 12 , w — 15 , . . . . 



de la manure, qiCon diminue le nombre n par tous les nombres pentagonaux 

 inferieurs an, la somme 



Vo{n) - ip 5 (n — 1) — ip b {n - 2) + xp b {n — 5) + 0r,.(n — 7) - ... . 



•se??*a g^aZe a , n £»a.s nombre pentagonal, mais egal a n , si n 

 esi zm nombre pentagonal de rang impair, et egal a — n , si n est un nom- 

 bre pentagonal de rang pair. 



Exemple 1. Pour n = 6 , 7, 8 nous en obtiendrons 



1 W ^( 6 ) -y 5 (5)- v 5 (4) + vki) = o , 



<M7) - ^(6) - ^(5)+ tp 5 {2) = - 7 , 

 ^ (8) - ^ (7) - ^5 (6) + y s (S) + V* (!) = • 

 Exemple 2. Pour n = 11 , 12, 13 nous aurons 

 #(U) _ ^(10) - ^ 5 (9) + y 9 (6) + ^(4) = , 



- ^(11) - ^(10) + #(7) + yS) = 12 > 

 ^ s (13) - ^(12) - ^(11) + v, 5 (8) + ^(6) - ^(1) = . 



TV. Sur une generalisation ales sommes de Qauss. 



Designons par (p(x) une fonction reelle ou complexe d'une variable 

 reelle x, et supposons, que <p(x) soit finie et continue pour <x^l , 

 et que la partie reelle et la partie imaginaire de cette fonction ne pos- 

 sedent que des nombres limites de maxima et de minima dans cet in- 

 tervalle. En posant 



