Recherches sur' les Nombres Polygon aux. 



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on 



( m=N ri m=N ri 



.75) <p(0) + <p(l) = lim 2 <K#> 2BMlM <ft+ 2 cp(t)e- m dt 



ou, si Ton remplace m par — m dans la premiere somme dans le second 

 membre, 



■ (176) <K0) + = lim '"v V i\(t) e -^dt , 



2 m =— W° 



formule, qui snbsiste sous la supposition, que la fonction (f{x) soit finie 

 et continue et n'ait qu'un nombre limite" de maxima et de minima dans 

 l'intervalle < x < 1 . 



Cela etabli, designons par h un nombre entier positif et par f(x) 

 une fonction de la variable x, et supposons, que f(x) soit finie et con- 

 tinue, et que la partie reelle et la partie imaginaire de cette fonction 

 n'aient que des nombres limited de maxima et de minima dans l'inter- 

 valle <x <h . 



En designant par k un quelconque des nombres 



, 1 , 2 , ..... . h — 2 , h — 1 , 



la fonction f(x -J- k) aura evidemment ces memes propriety dans l'inter- 

 valle < x < 1 ; introduisons done 



(177) <pM=f(x+k) 



dans l'equation (176), nous en d^duirons la formule 



(178) +/'(& + 1) = lim m jy r f -( t + k y-^nu dt } 



2 N= Xm = _ N Jo 



qui subsiste pour k = , 1 , 2 , . . . A — 1 . Par suite nous obtiendrons 

 de l'equation (178) 



(1 79) * "l" 1 / ^) +/(& + l l = lim X f /(* + k)e- 2mmi dt 



ou, en substituant £ = x — k dans l'integrale du second membre et en 

 observant, que k et m sont des nombres entiers, , 



