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A. Berger, 



, k=h-l frL\ , ffL ■ 1\ m=N k=h—l f'k+1 



(180) % + 1 2 = \im 2 2 I f(x)e- M dx 



* = 2 JV = 0O m _y i = () 



on, puisque la fonction sous le signe d'integration ne depend pas de k, 



(181) '^ fW + fj k + X ) = Km "jf ("/(^e-^^dk . 



De cette egalite Kronecker a deduit la formule de reciprocity con- 

 cernant les sommes de Gauss En suivant la methode de Kronecker, 

 nous deduirons de liquation (181) une formule plus g^nerale. D6sig- 

 nons pour cet effet par X et /u deux nombres entiers positifs et par q 

 un nombre entier arbitraire, et soit p un nombre entier positif croissant 

 vers l'infini. Par les substitutions 



(182) f(x) = e > u , li = 2{jl\ N= 2pl 

 nous obtiendrons de l'equation (181), puisque f(2ju) = /(0) , 



(183) 1 e r = lim % e " » dx . 



Quant au terme du second membre, correspondant a. la valeur 

 m = 2pA, on peut facilement s'assurer, que celui-ci s'evanouira pour 

 p = co , et par application de la notation 



r=2u— 1 _ 



(lr°-+Qr)7Ti 



(184) 5= 2 * * 



r=0 



nous deduirons ainsi de l'equation (183) 



m = 2,a-l f>2u _£f^_ 2m «rt 



(185) 5 = lim 2 , j e 11 " rfaj . 



Transformons maintenant la somme finie, qui se trouve dans le 

 second membre de cette Equation, au moyen de la substitution 



(186) ro = 2ls + r , 



1) Voir Vorlesungen iiber Mathematik von L. Kronecker. Erster Band. 

 Herausgegeben von E. Netto. Leipzig 1894, p. 110 — 115. 



