Rkcherches sur les Nombres Polygonaux. 35 



sous la supposition, que I < , u > . Les formules (197) et (201) 

 peuvent etre remplacees par une seule formule 



(202) 



V 



r= 2U—i (h - + Qi )7Ti (f'TTi r =S\).\-l (,"'"+?'• sgn 1)71 i 



P r=0 



qui subsiste pour I ^ , ,w > . Cela fait, remplacons I , ju , p par — A . 

 — ^ , — $ dans l'equation (202), nous en obtiendrons 



(203) 



1/ 



^•\ r = _2«_l (A/'+PQti £211 r = 2|/|-l (."r'-C-sgn 1)71 i 



J' 



X 



pour ^<0, /u < . Cela etabli, nous remplacons les equations (202) et 

 (203) par la seule formule 



ft /7~'\ r=2|«|-l d>- : + Qr)TTi r =2\)\— 1 C"' ,2 +P'- sgn A sgn .tQrri 



(204) (|/-J 2 e ^ - = e 4 ^ v g A 



i 4 * r=0 



qui subsiste pour tons les nombres entiers positifs ou negatifs X , fx et 

 pour tous les nombres entiers reels q . Cette formule est une gene- 

 ralisation de la formule de reciprocity, donnee par Kronecker, 



— 



(205) 



(V-) 2 e " = 2 e * , 



laquelle se deduit de l'equation (_204) par la substitution (> = . 



D.6signons, comme auparavant, par a un nombre entier, superieur 

 ou egal a 3, et par n un nombre entier positif quelconque, et introdui- 

 sons dans l'equation (204) 



(206) I = 2 - a , fx == n , q = a — 4 , 

 nous anrons 



(207) |A| — a — 2 , sgn A = — 1 ; \[x\ = n , sgn ,« = -f 1 , 



et par suite nous obtiendrons de l'equation (204) , en ayant egard a la 

 definition (2) , 



(208) ^|/^~ a ^j v e « =e v -» 



= r=0 



