Recherches sur les Nombres Polygonaux. 37 



1) Pour a = 3 nous obtiendrons du theoreme XII pour tout nom- 

 bre entier positif n 



(213) 2 e n = + ^~ ; e 4 " . I V'2n I , 



et par suite on aura 



r=2n-1 2P(3.r)7n 



(214) 2r > " =0 pour n = , mod 2 , 



r=0 



= (1 _|_ i)e iu | V2n | pour n = 1 , mod 2 . 



2) Pour a = 4 nous obtiendrons pour tout nombre entier positif n 



(215) 2 e ■ = (1 + 0(1 + *"")l Vn l » 

 d'ou Ton tire 



r=2n— 1 2^4.r)7ri 



(216) v g » =2(1 Vn I pour w = , mod 4 , 



r=0 



== 2 | V?z I pour n = 1 , mod 4 , 



= pour n = 2 , mod 4 , 



= 2z| VW | pour = 3 , mod 4 . 



3) Pour a = 5 nous obtiendrons du theoreme XII 



r=°n— 1 2P(5 • r '> 7Ti 



(217) 2 « " = P our « = , 2 , 3 , 4 , mod 6 , 



r=0 



= (1 -f 3 - z> m |/ - pour nsl , mod 6 , 

 = (1 + i) (V3 + i)e~ Wn j/- pour n = 5 , mod 6 . 



