.Lie but de ce memoire sera de presenter une methode directe de cal- 

 culer la valeur a de l'integrale elliptique fondamentale, an moven d'un 

 developpement analytique de la valeur de u en fonction de la valeur de 

 la limite superieure s de l'integrale, la valeur s = p(u; g 2 , g s ) £tant don- 

 nee, ainsi que la valeur de p'(u; g 2 ,# 3 ). 



Nous ferons aussi voir, comment, a l'aide du theoreme d'addition 

 de la fonction elliptique fondamentale s = p(u; g 21 g 5 ), le calcul de la 

 valeur de u peut se faire, quand la valeur de la limite superieure s de 

 l'integrale est en dehors de l'espace de convergence du dit developpement. 



Puis nous deduirons une formule de generalisation du theoreme 

 de duplication de la fonction elliptique fondamentale, et nous ferons 

 aussi voir, comment on peut faire l'inversion de cette formule, c'est a 

 dire nous donnerons la solution du probleme de partager par moitie la 

 fonction elliptique fondamentale. 



En dernier lieu nous deduirons quelques unes des equations ratio- 

 nales de s = }>(ii), de g 2 et de g 3 dont les racines correspondent aux 

 parties aliquotes des periodes primitives de la fonction elliptique fonda- 

 mentale, et nous ferons voir la connexion simple de ces equations. — 



L'integrale elliptique 



est immediatement transformee dans la forme de l'integrale elliptique 

 fondamentale 



(1) 



a = 



]/B 4 {x) J,„ V.4# 4 + 42?* 3 + 6CV + 4D# + i£ 



(2) 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



