SlJR LA FONCTION ELLIPTIQUE FONDAMENTALE S = p(u ff 2 , ff 3 ). 9 



Pour simplifier le raisonnement, nous supposerons les valeurs des 

 limites x et x t telles que la valeur de la limite s x , ainsi que les valeurs 

 de s 2 et s 3 , ne soit plus petite que la plus grande des racines e x , e 2 , e 3 

 de l'equation 4 s 3 — g 2 s — g 3 = 0, consequence immediate des suppositions 

 deja faites sur les valeurs des limites x et a?,. 



Puisque u x = u 2 -j- m 3 , on a 



ds C H ds r> ds 



\/4s 3 — g,s ~g 3 J \j±s A —g 2 s — g 3 J l/As 3 — g 2 s — g 3 



Les coefficients A , B , . . . E etant les memes dans les trois in- 

 tegrals 



**' dx C Xi dx r x ' dx 



r x ' dx r Xi dx i 



les coefficients </ 2 et 93 sont aussi les memes dans les trois integrates 

 de la formule (11). 



La formule (11) indique la possibility de remplacer une inte- 

 grate elliptique fondamentale par la somme d'autres integrates ellipti- 

 ques fondamentales, ne differant de celle-la, que par les valeurs des 

 limites supeVieures. 



Alors, si la valeur de s x est ou en dehors de l'espace de conver- 

 gence du developpement 1 -\- c 2 g 2 . s~ 2 -(- c 3 g 3 . .s~ 3 + . . . ou en dedans de 

 la meme espace de convergence mais trop pres de sa limite exterieure, 

 la valeur de l'int6grale u x ne peut etre calcutee en employant la formule 

 (10). Si les valeurs de s 2 et s 3 sont aussi trop petites pour rendre com- 

 mode, ou meme possible, l'emploi de la formule (10) pour le calcul des 

 valeurs des integrates w 2 et u 3 , on pourrait partager l'intervalle depuis 

 x jusqu'a x x [c'est a dire depuis 00 jusqu'a sj en un nombre de parties 

 x 2 , x 3 , x 4 , . . . assez grand pour que les valeurs des limites superieures 

 des integrates elliptiques fondamentales correspondantes soient assez 

 grandes pour que le calcul des valeurs des integrates, au moyen du de- 

 veloppement 1 4- c 2 g 2 . s~ u -}- c 3 g 3 . s~ 3 -\- . . . , soit possible et commode. 



La consequence la plus importante de l'equation (11) est qu'on 

 peut l'ecrire sous la forme 



na v ds r> ds , . x 



(12) _ -= =*— -==== (* 8 >0 • 



4 V 4 6- 3 _ g 2 s — g 3 J V 4 s 3 — g 2 s — g 3 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



