SlJR LA FONCTION ELLIPTIQUE FOND AMENT ALE S = p (u ; ff 2 , ff s ). 23 



§ 4. 



Proprietes de I 'equation. 



\JH. 6 {h) ^Hjs,) + i? 3 (a) + i tf'.OOC* - «) 



(15) — + s 



K J 2(8,—.*)- ^ 



1®W V5CO + #.(*o) + 1 #i(0(* - O 



= s„ . 



2(*-* )* 



l:o. M. Weierstrass, dans sa th^orie de la fonction elliptique 

 fondamentale s = p(u), a d£duit l'equation 



(16) p(2u) = 



2 1 ) 2 



X") +±9* \ + 2 9zP( u ) 

 4p(uf — g 9 p(u)-g a 



Cette equation contient le theoreme de duplication de ] 'argument 

 de la fonction s=p(u). 



La solution de liquation (16) par rapport a p(u), la valeur de 

 p(2u) etant donn6e, est le probleme de division (de partage par moitie) 

 de l'argument de la fonction s = p(2u) . 



Dans les paragraphes 8 et 9 du memoire »De la convergence du 

 developpernent analytique de la fonction elliptique jo(w)..», p. 45 — 55, 

 nous avons presente deax m6thodes de solution de l'equation (16). 



Maintenant, si, dans liquation (15), on fait .s 2 = oc , de sorte que 

 u 2 = , on obtient 



(8) fB t (8 ) + R & (6- ) + y R'M (S - * ) 



(17) S = - ^_ - + 8 . 



2(8- s ) 



Alors, l'equation (14) donne 



(18) 2u =u . 



Les equations (16), (17) et (18) font voir, que liquation (17) doit 

 etre la raerae chose que l'equation (16), c'est a dire que l'equation (15) 

 est une generalisation de l'equation (16) de M. Weierstrass. 



