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Axel Soderblom, 



§ 6. 



Sur les equations rationelles de S = p(u), de g 2 et de g 3 . 



Liquation principale rationelle de s = p(u) de g 2 et de g % est 

 celle de M. Weierstrass 



(25) 4 s 3 — g 2 s — g 3 = 



ou 



(25) R*{*\9*,9i) = • 



Les racines e x , e 2 et e 3 de cette equation d^terminent les moities 

 des periodes primitives 2co et 2a/, par les relations 



p(w) = e l p(p") = p(u> + «0 = (? 2 p(u>') = ^3 • 



Nous ferons voir, dans ce paragraphe, qu'il y a, hors de liqua- 

 tion (25), d'autres equations rationelles de s=p(u) de g 2 et de g 3 dont 

 les racines correspondent a des parties aliquotes des periodes primitives 

 de la fonction elliptique s = p(u). Nous ferons voir aussi qu'il y a une 

 connexion remarquable entre ces equations et l'equation principale (25). 



En effet, la formule (13), ecrite dans la forme 



iMh) VSW + /?,(*„) + \ _ So ) 



(26) 2( Sl -s ) 2 = - 



S — S 



indique une methode d'obtenir des equations rationelles de s = p(u) de 

 g 2 et de g 3 , et nous ferons voir, comment on peut deduire les Equa- 

 tions dont les racines correspondent a des parties aliquotes des periodes 

 primitives de la fonction elliptique s = p(u). 



En effet, si Ton donne des valeurs speciales a s x et a s et que 

 Ton chasse les radicaux de la formule (26), on obtiendra une equation 

 de la forme 



(27) 4(s-s >* + ... = . 



Afin que, quand s, z=p(2w) = <x> , une valeur de s satisfasse a 

 liquation (27), il faut que s = p(u) soit egale a s =_p(ti ), w e * w„ etant 

 diffe 1 rentes. 



