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neuen,  zweckmässigeren  Definition  des  sogenannten  mittleren  Fehlers  beruht. 
Unter  dieser  Voraussetzung  wird  eine  Abschätzung  der  Verlässlichkeit  der 
Beobachtungen  und  die  Ermittelung  des  wahrscheinlichsten  Werthes  der  un- 
bekannten Grössen  durchgeführt ,  wobei  die  Formeln  für  Berechnung  des 
mittleren,  wahrscheinlichen  und  Quadratfehlers,  sowie  des  Moduls  und  Ge- 
wichtes der  Beobachtungen  in  eine  solche  Form  gebracht  werden ,  dass 
diese  Berechnung  mit  dem  geringsten  Aufwände  an  Zeit  und  Mühe  durch- 
geführt werden  kann. 
Tafeln  für  die  procentuelle  Häufigkeit,  sowie  für  die  Wahrscheinlichkeit 
der  Begehung  hestimmter,  in  Vielfachen  des  wahrscheinlichen  Fehlers  aus- 
gedrückter Fehler  geben  ein  Mittel  zu  untersuchen,  inwieferne  eine  Beob- 
achtungsreihe den  Gesetzen  der  Wahrscheinlichkeit  gehorcht,  in  welchem 
Falle  allein  angenommen  werden  darf,  dass  erhebliche  constante  Fehler 
entweder  nicht  vorhanden  sind,  oder  in  so  vielfältiger  Weise  auftreten, 
dass  sie  sich  zusammengenommen  wie  zufällige  Fehler  verhalten. 
Die  Fehler  einer  Function,  eines  Aggregates  unabhängiger  Grössen, 
eines  arithmetischen  Mittels  werden  in  Abhängigkeit  vom  Fehler  der  Ver- 
änderlichen ausgedrückt  und  es  wird  an  mehreren  Beispielen  die  Anwendung 
der  gegebenen  Formeln  auf  die  Discussion  von  Beobachtungen  erläutert. 
Der  dritte  Abschnitt  (stereographische  Projection,  Seite  156—174)  ent- 
hält die  Ableitung  der  Grundeigenschaften  dieser  Projectionsmethode,  im 
Wesentlichen  nach  den  Entwickelungen  von  v.  Lang  und  Reusch  ;  die  Aus- 
führung der  bei  krystallographischen  und  krystalloptischen  Arbeiten  noth- 
wendigen  Constructionen  und  Erläuterung  an  dem  in  den  früheren  Ab- 
schnitten begonnenen  Beispiele. 
Der  vierte  Abschnitt  (Krystallberechnung.  Seite  175 — 317)  geht  von 
dem  Erfahrungssatze  aus,  dass  an  einer  krystallisirten  Substanz  nur  solche 
Flächen  auftreten,  welche  aus  vier  unabhängigen  unter  ihnen  (d.  h.  solchen, 
unter  denen  keine  drei  tautozonalen  sind)  durch  fortgesetztes  Schliessen  des 
Zonenverbandes  ableitbar  sind,  während  umgekehrt  alle  derart  ableitbaren 
wirklich  mögliche  Flächen  der  betreffenden  Substanz  sind.  Dieses  Grund- 
gesetz ist  mit  demjenigen  von  der  Rationalität  der  Indices  identisch  und 
lässt  sich,  wie  gezeigt  wird,  auch  in  der  Form  aussprechen:  werden  die 
Pole  von  vier  unabhängigen  Flächen  einer  krystallisirten  Substanz  durch 
Grosskreise  (Zonenbögen)  verbunden,  so  sind  alle  durch  fortgesetztes  Drei- 
eckschliessen  entstandenen  Dreieckpunkte  Pole  von  möglichen  Krystallflächen 
und  umgekehrt.  Jn  dieser  letzteren  Fassung  lässt  das  Gesetz  erkennen, 
dass  die  Aufgaben  der  Krystallberechnung  mittelst  der  stereographischen 
Projection  durch  einfache  Dreiecksauflösung  durchgeführt  werden  können. 
Bei  dieser  Durchführung  wird  wie  in  früheren  Schriften  des  Verfassers  (1872 
und  1879)  vom  allgemeinen  und  desshalb  einfachsten  Falle  des  triklinen 
Systemes  begonnen  und  "zu  den  höher  symmetrischen  fortgeschritten,  bei 
welchen  durch  die  Vielfältigkeit  des  zum  Ziele  führenden  Weges  der  Über- 
blick über  den  Gang  der  Berechnung  schwieriger  ist :  nur  das  rhomboedrische 
und  hexagonale  System  sind  nach  dem  tesseralen,  anstatt  vor  demselben 
abgehandelt,  weil  die  Verhältnisse  bei  denselben  am  complicirtesten  sind. 
