55 



zurufen, ist die Wahl der Grundform einigermassen willkürlich. 

 Betrachtet man ausser der Zwillingsebene 111 noch zwei 

 Flächen des Octaeders als derselben zugehörig, III und III, 

 und bezieht demnach auf diese als Axenebenen und etwa die 

 vierte Octaederfläche III als Axenschnittsebene eine Fläche 

 pqr, so werden die Indices derselben: 



Po 2 



r — q 



q = -2~ 



r = ±-Zl 

 r ° 2 



woraus rückwärts folgt 



(13) 



P = — Po + % — r o | 



<i = — Po — % + r o } ( 14 ) 



i — .— Po 4: % + r o ) 

 Die Indices der verschobenen Fläche in Bezug auf das 

 übliche Axenkreuz werden daher: 



p'== — q; q' = — p ; r ' = — p — q + r (15) 



Diese Formeln gestatten eine einfache geometrische Deut- 

 ung, welche namentlich in der Linearprojection gut hervor- 

 tritt. Trägt man die Flächen in der ursprünglichen und ver- 

 schobenen Lage in die Protection auf 001 , welches bei der 

 Verschiebung sein Zeichen behält, ein, wie das in Fig. 6 und 7 

 für die Flächen des Octaeders, Rhombendodekaeders, Würfels 

 und des Leucitoeders geschehen ist, so erscheint die ganze 

 Projection nur um die Grösse y% längs der Sectionslinie der 

 zur Zwillings ebene senkrechten Fläche 110 und in der Richt- 

 ung vom Axenmittelpunkt zur Sectionslinie der Zwillingsfläche 

 verschoben. Beim Vergleich der einander entsprechenden 

 Sectionslinien beider Figuren im Einzelnen erkennt man aber, 

 dass auch in Bezug auf den neuen scheinbaren Mittelpunkt 

 der Projection, die a und b Axe vertauscht sind und ihr Vor- 

 zeichen gewechselt haben. Die neue Lage einer jeden ein- 

 zelnen Sectionslinie erhält man vielmehr, wenn man die ganze 

 Projectionsfigur um die Sectionslinie der Zwillingsebene 111 

 um 180° gedreht denkt. Der Beweis ist leicht zu führen an 

 der Hand der Fig. 8. Sind m und n die ursprünglichen Ab- 

 schnitte, so sind 



