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^[b 2 c 2 « 2 + c 2 äV 2 + a 2 bV 8 ] 



[(b 2 + c 2 ) « 2 + (c 2 + a 2 ) ^ 2 + (a 2 + b 2 ) 7 2 ] + 1 



sin 4 i r , , „ , o 9 . o < o -i 

 2 — ^ [b-c-«« 2 + ra- t s,s 2 + a 2 h 2 yy 2 ] 



- 2 ^ [(b 2 + c 2 ) « c <2 + (c 2 + a 2 ) ßß 2 + (a 2 + b 2 ) m ] 



sin 4 i 



-^i [b 2 c 2 (« 2 + « 2 2 ) + c 2 a 2 0? 2 + Ä 9 ) + a 2 b 2 ( r 2 + 7 2 2 )] 



- P 2 + c 2 ) « 2 2 + (c 2 + a 2 ) fc» + (a 2 + b 2 ) / 2 2 ] 



„ Sill 4 i r< - 90 ,99 I 9 9 T 



2 [b- c 2 « « 2 + c- a- /? /? 2 + a- b- 7 

 ^[b 2 c 2 « 2 2 + c 2 a 2 /?2 2 + a 2 b 2 ;v] 



Diese Gleichung ist vom vierten Grade in tan r und vom 

 zweiten Grade in sin 2 i : zu jedem Werthe von sin i gehören 

 vier Werthe von tan r, aber für sin i und — sin i erhält man 

 dieselben Werthe von tan r, in Übereinstimmung damit, dass 

 die Curve T im Einfallspunkt ein Centrum der Symmetrie 

 besitzt: zu jedem Werthe von tanr gehören zwei Werthe 

 von sin 2 i , von denen der eine der schnelleren . der andere 

 der langsameren der beiden Wellen entspricht, deren Normale 

 in der Einfallsebene den Winkel r mit der Normale der Grenz- 

 ebene einschliesst. 



Die Gleichung f (r) = kann im Allgemeinen nur durch 

 Näherungsmethoden aufgelöst werden. Die besonderen Fälle, 

 in denen die Auflösung leicht gelingt, sind durch Symmetrie- 

 eigenschaften ausgezeichnet. 



I. Wenn die S chni 1 1 cur v e T von Indexfläche und 

 Einfallsebene symmetrisch zur Grenzebene ist, so 

 müssen die vier Wurzeln der Gleichung f(r) = paarweise 

 einander entgegengesetzt gleich sein: 



+ tan r. + tan r' ; 



d. h. f (r) ist vom zweiten Grade in tan 2 r, also : 



(13) a, = , a 3 = 0. 



Dieser Fall tritt ein. wenn die Grenz ebene eine op- 

 tische Symmetrieebene oder ihr e Schnittgerade mit 

 der Einfallsebene eine optische Symmetrieaxe ist. 



(12) 



4a, = 



6a, = 



4a = 



