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C. F. LlNDMAN, 



n 



C'est pourquoi xQol ax doc, designe ci- (lessons par H(a), m'a paru 







digne d'attention. Les Tables de Bierens de Haan indiquent que Legendre 

 dans ses ''Exercices de calcul integral" a deja fixe la valeur de cette 

 fonction pour a = 1 et a = {; raerae d'autres, p. e. Cauchy, ont traite ces 

 fonctions-ci ou d'autres pareilles. La recherche presente commence done 

 par l'equation 



H(a) = j ~ 2 x Cot ax dx, (1) 







ou a d'abord est suppose situe entre et ± 2, ces deux exclus. 

 Evidemment est 



H(- a) H(a), (2) 



fx Cot fa dx = H( 2 ~^ (3) 



ou ct/3 est compris entre et ± 7r (exclus). En integrant par parties, nous 

 aurons par (1) 



/i" x 2 dx '—i 7T 2 „ aw ) ,t\ 







/* 7 Z Sin ax . dx = %- I Sin ~ — a H(«) **).... (5). 

 o 2 2 



a 



Si Ton substitue dans (4) 2?/ pour a, # respectivement, il vient 



p^L. I H (?)_^ Cot f? (6) . 



> f Sin 2 a?/ 2a \2' lba 4 w 

 La meme formule (4) donne aussi 



r^«"Cot f aa».flto = ?H(«)— Cot ^ - ^- . . . . (7), 

 a 4/ 2 24 • w 



*) Trouvee par Cauchy pour a = 1. Voyez Bierens de Haau Tab. 239 N:o 8. 

 f *) Bierens de Haan trouve dans son Expose pag. 478 form. (1264) 



I 2 / Sin x dx = -• %r 12, 



oil il faut se souvenir que a doit etre un nombre entier, puisque autrement J 2 Cos2mvda; 







n'est pas egale a zero en general. 



Par la notation I nous designons toujours le logarithme naturel. 



