D'UNE FONCTION TKANSCENDENTE. 



lorsq'on substitue x ,au lieu de (l-\-b)x. II s'ensuit d'un th^oreme bien 

 connu, que 



H(l + b) = ( Y^r^¥ I /** « Cot x . dx + y 2 Cot a? . dx • 



2 



7T 



En remplacant x par ~ + # dans le dernier terme, on trouve 



(1 + A)7T bji_ brr 



j x Cot x . dx = — ^ / 2 tg * ^ — f 2 xtg x dx; 



raais on sait que 



et on trouve par (26) 



f 2 tgxdx = —l Cos — 



y" 2 x tg a? dx = U 2 J^'x tg 2b x dx = 6 2 [L(2£) — H(2i)], 



done 



H(l + 6) = jn^jjs z ( 2 Cosy) - & 2 |L(2ft) - H(26)j 

 En substituant — 5 pour b, on aura 



H(l -b) = 



(i -by 



| ? (2 Cos -jj + ^ 2 iL(26) - H(2J)j 



(28). 



(29). 



Si Ton multiplie la formule (28) par (1 -\- bf et (29) par (1 — bf et qu'on 

 additionne les produits, il en resulte la relation fort simple 



b7T\ 



(1 + bf H(l + b) + (1 — 6) 2 H(l — 6) = 7rl(2 Cos 



(30). 



Une pareille relation a lieu par rapport a la fonction L(. . .). La 

 formule (16) donne 



TT 



1 - 2) L ( X - a) " L <!>-2 lC0t i 1 - l) 4 + « 2 7 



en changeant a en — a, nous aurons 



(1 + 2) L(l + 2) = L(l) - g I Cot (l + 2J 4 + « 2 y CST, 



4 a? C&tf 



a a? 



et en soustrayant 



