D'UNE FONCTION TRANSCENDENTE. 



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Quand on prend la somme de toutes les equations, les termes du membre 

 gauche detruiront les termes moyens du membre droit et Ton trouvera 



P H(^) = — l (2"- 1 Cos * . Cos ?I ... Cos ( n - 1 >*') . 

 O ^ V n / 4 ■ V 2rc 2n 2n > 



p—i 



Supposons maintenant, que n soit un nombre pair 2m, alors le nombre des 

 facteurs entre les crochets, excepte 2" _1 , est impair et egal a 2m — 1. 

 D'une formule bien connue il s'ensuit que 



on * n ( 2m — 1)^" «. t 



2 Cos — . Cos ■; = Sin jr- 



4 m 4m 2 m 



2^- (2m— 2)*- 2vr 



2 Cos 7— Cos 7 = Sin :) 



4m 4m 2m 



2 Cos ( "^^ . Cos ( "^^ = Sin . 

 4 m 4m 2 m 



Puisque le facteur moyen est Cos ^ = 2 _1 , on peut ecrire 



"TV = 2^ Z (2-^ Sin JL . Sin ^ . . . Sin (™-J>) ■ 



O ? \% m ) 4 V 2m 2m 2m /' 



p=i 



mais Grunert a demontre*) la formule 



(' 7T 2tT (m-V\7T\ 



2m = 2 2 - 1 (Sin ^- . Sin ~- . . . Sin — ) 

 v 2m 2m 2m / , 



dont il suit, qu'on a 



/ 7r 2?r (m — 1W\ 



Z 2^ Sin h~ . Sin 5- . . . Sin — -5— y — = } Z 2m 

 \ 2m 2 m 2m / 2 



et 



O r V2m/ 8 

 P =.i 



Si w au contraire est un nombre impair 2m 4-1, on a 



COS — . • 



p—2m ~ 



Q f K(-Jl-) = <&±±lf* I 2 2m Cos Z— . Cos 



\2m+V 4 V 2 (2m 4-1) 2(2m + l) 



Cos— --— — ^ 

 UOS 2(2m-f 1)J- 



*) Voyez Supplemente zu Kliigels Math. Worterbuche, zweite Abtheilung pag. 

 643 form. (365). 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 



