D'UNE FONCTION TEANSCENDENTE. 11 



§ 7. 



Jusqulci nous avons suppose que la valeur numerique de l'argument 

 a est comprise entre et 2 (exclus.) on b entre — 1 et + 1 (exclus.); et il 

 est evident que l'une et l'autre des fonctions deviennent infinies pour cha- 

 cune des dites valeurs. Mais si Ton donne a b, dans (30) et (31), une valeur 



entre 1 et 3, par ex. 2, et qu'en meme temps au lieu de Z^2Cos^-), 



7T ( n b7T\ 2 7T 



I tg (1 — b) ^on derive } I (2 Cos -^-J > \ « fg (1 — V) 4, nulle des fonctions ne 



devient infinie. Cette circonstance donne lieu a croire que les formules 

 (28)... (31) valent plus gen6ralement, qu'il ne semblait etre le cas aupara- 

 vant. Pour eclaircir ce point, considerons d'abord l'integrale 



r 







x Cot (2n -{- 1 -j- <*) x . dx, 



oii n est un nombre entier et a num. < 1. Comme la fonction sous le 



YflTT 



signe de Integration devient discontinue pour x = 2 n \ \ , m etant un 

 des nombres 1, 2, . . . n, il faut ecrire selon Cauchy*) 



J = J* 11 oc Cot \ >x dx -f- J x Cot v x dx + J* 2 "x Cot v x dx -\- . . . 



J " # Cot v x dx -j- a? Cot i/ # 

 (lim ^ = 0) 



ou pour abreger nous avons pose 2n -j- 1 + = v. Designons aussi les 



l 1- TT T T n- (m- lW+v 



termes du membre droit par J n J 2 , . . .. J 2K , J 2n+1 et iaisons a? = — 



v 



dans J 2m _i et « = dans J 2m . De cette maniere et en posant v & = <^ , 



nous aurons 



71 7T 



J 2m -i = y 2 [O — 1) w y° Cot y cfy + y° y Cot y cfy] 



*) Voyez Bierens de Haan, Expose pag. 7 et Serret, Calc. int. pag. 103 

 Paris 1868. 



