D'UNE FONCTION TRANSCENDENTE. 19 



= (Hp? [ a - V H (V) - f 1 ( 2 Cos T tg t 1 " S) l)' 



Soit & = 4w + 1; alors on a H (~~2~~) = — H(2n) = — oo. Si Ton pose 



1 — J\ 



b = 4w -f- 3, on trouve H ( 2 J = — H(2n -J- 1) or finie. Quant an second 



b7T 



terme on a 



Cos 



Cos 



07T 7T 2 



2 t ^ 1 - 5 )4=CoTO=5)| 







ce qui devient = q pour b = 4w -f- 3; mais par la methode ordinaire on 

 trouve 



Cos T tg(l-6) 5 = 2 

 pour 5 = 4rc -J- 3. Dans ce cas on a done 



L[4(n+1)]-H[4(n + 1)] = — 1 ^~[4(2n+l) 2 H(2 W +l) + 2^-Z2]. (44). 



En posant n = 0, on retrouve la formule (43). La difference dont il s'agit 

 est done finie, quand l'argument est une multiple de 4, pas en cas contrair. 



§ 11- 



Dans les paragraphes 1 — 4 nous avons rassemble un nombre d'inte- 

 grales qui ont ete presque immediatement trouvees par la formule (1) ou 

 par des procedes les plus usuelles faites par rapport a celle-la. Cela sest 

 fait non-seulement pour faire voir, qu'un grand nombre d'integrales depen- 

 dent de la fonction H(a), mais aussi pour avoir des formules qui seraient 

 utiles en deduisant certaines proprietes de H(«) et de L(a) desquelles nous 

 avons fait mention dans les paragraphes 5 — 10. Passons maintenant a 

 quelques integrates qu'on ne peut trouver aussi facilement que les prece- 

 dentes et commencons par l'integrale 







oft m et v sont des nombres entiers et m suppose < v*). Mais comme il 



*) Etant m > r, la fonction est decomposable en une partie entiere et en une 

 fraction; etant m = v l'integrale peut etre simplifiee en posant ai' = y. 



