D'UNE FONCTION TRANSCENDENTE. 23 



Nous obtenons done en dernier lieu 



/dx , x Sin <b,, 2 <p,? T 7<p,A 



T ArC * T-^k, = ~ %r H(^j - <P„ K2 Sin I W . . (47). 



T/ 



Introduisons les integrates trouvees dans les formules (45) et (40) et en 

 meme temps la valeur de </j y ,; il viendra 



p—fi — 1 



7T 772 



,J = H S Cos ^ +1 >2 



n 



1 



3 2h 8ra 2 



p=0 



p—n — 1 



2~ 2 g (2 ?+ l)Sin(2 P+ l)-2 



WITT 



■2/?f 1 TJ /2/?+l 



„ Hf- )-.Z(2Sin 



4n 



, (48) 



2 „ +1 12(2n + l) + 2rc+l b ^ ; 2n + lL~3 + 2n+l — 2(2^?l)" 2 _ 



p=0 



D=?i —1 



v p=0 



. (2jt?+l)m5rr2(2/?+l) /2p+l 



(2/?+l 



7T 



Dans ces integrales une reduction se peut faire par laquelle les for- 

 mules (48) et (49) deviennent bien plus simples. Cela se fait en vertu des 

 formules connues 



gSin^l).^. gCos(2 P+ l). = Tgn -. 



p=o r=o 



En ditferentiant la premiere une fois et la seconde deux fois par rapport 

 a ^, on trouvera 



p="- 1 n Sin 2na Sin 2 wet Cos a 



g (2^+1) Cos «p+i). = ~ si - — ' 



J9=72 1 



2w 2 Sin 2w ct 2w Cos 2n& Cosct 

 g fflp+l)? Cos (2 P +1)« = - sE— + m - 



j>=0 



Sin 2nct (1 + Cos 2 -*) 

 2 Sin 3 * 



En employant ces formules dans (48) , ou « = - 9 — , on aura 



