D'UNE FONCTION TRANSCENDENTE. 27 



r ix r 4 



J T—^? d * = -JylKO*) (56). 



Si Ton pose n = 4 , m = 1 et m = 3 , on trouve en employant les formules 

 (28) et (8) 



i 



1+^ 4 = - 8171L2 + t'(K2 + 1) +L(|)] f .... (57) 







/ l tf? 2 Ix , 1 r 7T 2 , _ 



. T+5 i<-- 87i[T-' , C^ s + 1 )-I'ft)].... (58). 



En soustrayant celles-ci, on retrouve une formule donnee par 

 Euler**). 



Lorsqu'on cherche l'integrale (57) par la methode ordinaire, on rencontre 



/° l ^ArctgfK2 

 J o x 1 — x 2 ' 



On peut l'avoir par (57), mais aussi par ce que 



Arc tg _ Arc tg ^ + Arc tg . 

 Apres quelques reductions il vient 



rdx x 1/2 , 



1 ^ Arct ^r=^ = l^ z (V24-i) + L ( |) 



*)) (59). 



§ 15. 



La formule (52) fait voir que le nombre des termes croit avec rc; il 

 faut done profiter de chaque occasion de diminuer n par des substitutions 

 convenables. Une telle occasion se presente par exemple, lorsqu'on cherche les 

 integrates 



/ x \ oo doc oo I oo 



*) Ibid., Tab. 153 N:o 3, se trouve cette integrate, et il est dit qu'elle a ete 



4tT 2 



trouvee par Euler et par Legendre qui pourtant lui ont assigne la valeur - g=-» 



N'ayant pas eu l'occasion de consulter les ouvrages cites par B. d. H., il m'est 

 impossible d'expliquer cette chose. J'ai aborde l'integrale de plusieurs manieres, 

 mais j'ai toujours trouve le meme resultat qu'en (oQ). 

 **) B. d. H., Tab. 152 N:o 19 pour p = 2. 



