D'UNE FONCTION TRANSCENDENTE. 



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§ 22. 



Quoique un nombre encore plus grand d'int^grales qui dependent 

 des fonctions H(...) et L(...) puissent etre indiquees, les integrates 

 deja trouv6es suffisent pour prouver que ces fonctions se pr6sentent souvent. 

 Les tables de Bierens de Haan contiennent dailleurs quantite d'int6grales 

 qui puissent etre exprimees par la fonction transcendente de Lobatschewsky 

 et qui aussi dependent de H ( . . . ) ou de L (...) i cause de la liaison 

 que les fonctions ont entre elles. On peut parvenir a expliquer cela de la 

 maniere suivante. Par la formule (15) nous avons deja vu que la somme 

 d'une serie peut s'exprimer par la fonction L ( . . . ). Nous verrons main- 

 tenant qu'on peut atteindre le meme but par la fonction H(. . .). En plusieurs 

 endroits *) on demontre que 



p n c—iy- 1 



^ -— Cos p(p = I 2 + I Cos I- <p, 



P =i 



7T 



P 



autant que ^ > <P > 0- 



En multipliant par d<p et en integrant, on aura 



S^— r~ Sin p(p = <pl 2+ C I Cos | q> d(p. 



Nonobstant la condition que nous venous de faire, l'integrale peut etre 



prise entre les limites et a ^ « < , parce que la seconde serie neanmoins 

 converge. On trouve done 



^- — -i—Smp* = *l2+/ I Cos ±<pd(p (A) 



4<* r^ ir ^ 2*<# 7 

 = a, 12 4- — / I Cos ax, 







„ . A.AX 



en faisant <p = — — . En vertu de (24) on a 



") Voyez par ex. Catalan, Traite elem. des series pag. 106. Paris 1860. 



