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Mineralogie. 
anstatt  von  dem  Satz  der  rationalen  Indizes  auszugehen,  denn  es  ist  nicht 
möglich,  rein  logisch,  ohne  weitere  Voraussetzungen  über  die  Wirkungs- 
weise der  kleinsten  Teile,  das  Auftreten  von  ebenen  Flächen,  Spalt- 
flächen etc.  abzuleiten,  es  läßt  sich  vielmehr  nach  Verf.  zeigen,  daß  die 
Raumgittertheorie  schon  zur  Ableitung  der  Symmetrieklassen  noch  andere, 
im  Eationalitätsgesetz  nicht  enthaltene  Erfahrungen  voraussetzt. 
Verf.  zeigt  nun  ausführlich,  daß  aus  dem  Ratioualitätsgesetz  nicht 
nur  die  bekannten  32  Symmetrieklassen  mit  Symmetrieachsen  rationaler 
Richtung  folgen,  sondern  daß  außerdem  noch  solche  mit  dreizähligen 
Achsen  denkbar  sind,  bei  welchen  diese  Richtungen  und  ihre  Normalebenen 
nicht  rational  sind.  Es  genügt  hier,  auf  die  dem  Verf.  anscheinend  nicht 
bekannt  gewordeneu  Darlegungen  von  B.  Hecht  (dies.  Jahrb.  1895.  II. 
-248-)  zu  verweisen.  Zwei  dieser  Abteilungen  haben  die  Symmetrie- 
elemente der  rhomboedrischen  Tetartoedrie  und  der  pentagonalen  Hemiedrie, 
von  denen  sie  sich  aber  dadurch  unterscheiden,  daß  sie  keine  Meroedrien, 
sondern  Holoedrien  sind,  in  dem  Sinne  nämlich,  daß  sich  ihre  Symmetrie 
durch  Hinzufügung  irgendwelcher  Flächen ,  die  dem  Rationalitätsgesetz 
gehorchen,  nicht  würde  erhöhen  lassen.  Verf.  nennt  diese  Abteilungen 
Systeme  temaire  irrationnel  und  Systeme  cubique  irrationnel.  Zwei  weitere 
Abteilungen  der  Art  wären  als  holoaxiale  Hemiedrien  der  vorigen  zu  be- 
zeichnen. An  Kristallen,  welche  den  beiden  trigonalen  Abteilungen  zu- 
gehören sollten ,  dürften  weder  Basis  noch  Prismen  auftreten .  und  um 
Flächen  rhomboedrischer  Lage  rationale  Indizes  zu  geben,  müßte  man  bei 
Zugrundelegung  der  drei  Kanten  irgendeiner  dreiseitigen  Pyramide  als 
Achsen  auf  diesen  Einheiten  wählen,  deren  Kubus  oder  Produkte  in 
rationalem  Verhältnis  stehen.  In  den  beiden  regulären  Abteilungen  dieser 
Art  wären  Oktaederflächen  unmöglich,  ebenso  Flächen  von  Ikositetraedern  etc. 
In  Wirklichkeit  kennt  man  nun  Kristalle  dieser  Art  nicht,  obwohl  das 
Rationalitätsgesetz  sie  zuläßt ;  ausgeschlossen  werden  sie  aber  in  der  Tat 
durch  die  Raumgittertheorie,  und  in  diesem  Umstände  sieht  Verf.  daher 
ein  Avichtiges  Anzeichen  dafür ,  daß  Kristallen  in  der  Tat  Raumgitter- 
struktur zukommt ;  er  macht  zugleich  darauf  aufmerksam,  daß  es  demnach 
nicht  gleichgültig  ist ,  ob  man  zur  Ableitung  der  möglichen  Symmetrie- 
klassen vom  Rationalitätsgesetz  oder  den  BßAVAis'schen  Gittern  ausgeht. 
[Punktsysteme  mit  Raumgitterstruktur ,  denen  eine  irrationale  drei- 
zählige  Symmetrieachse  zukommt,  sind  ebenfalls  denkbar,  wie  Hecht  (l.  c.) 
gezeigt  hat.  Daß  sie  unter  den  BRAVAis'scken  nicht  als  besondere  Ab- 
teilungen erscheinen,  liegt  an  der  Definition  der  Symmetrieachsen  durch 
Bratais  als  reiner  Drehungsachsen.  Die  Raumgittertheorie  schließt  also 
das  Vorkommen  derartiger  Strukturen  von  vornherein  ebensowenig  aus 
wie  das  Rationalitätsgesetz ;  unmöglich  werden  sie  vielmehr  erst  durch  die 
allerdings  für  Kristalle,  nicht  aber  für  bloße  T Punktsysteme L ,  selbstver- 
ständliche Annahme .  daß  eine  Richtung  erst  dann  zur  Symmetrieachse 
wird .  wenn  die  durch  sie  zur  Deckung  gebrachten  Richtungen  etc.  auch 
physikalisch  gleichartig,  d.  h.  im  Sinne  der  Raumgittertheorie  in 
gleicher  Weise  mit  Punkten  besetzt  sind.    Ref.]  O.  Mügge. 
