75 



rend das äussere Ende der Zellen einen deckelartigen Verschluss mit einer 

 eigenthümlichen inneren Kadialstructur besitzt. Der Gattungsname Cyclo- 

 crinus hat natürlich als der ältere das Vorrecht. Alle bisher bekannten 

 Arten der Gattung sind untersilurisch. Ferd. Roemer. 



Königsberg i. Pr., Oktober 1887. 



Ueber die Rationalität zweier Funktionen der Winkel, 

 welche zwisclien fünf beliebigen krystallographisch möglichen 

 Flächen liegen. 



In jeder Zone können nur drei krystallographisch mögliche Flächen 

 vollkommen beliebige Winkel mit einander bilden. Liegt in derselben 

 noch eine vierte Fläche, so muss wegen der Rationalität der Indices eine 

 gewisse Eelation zwischen den Winkeln, welche die vier Flächen mit ein- 

 ander bilden, bestehen. Diese Relation ist von Gauss aufgestellt und unter 

 dem Namen „Gesetz der rationalen Doppelverhältnisse" bekannt ^ Aus 

 demselben folgt, dass man aus den AVinkeln zwischen 3 Flächen einer Zone 

 und den Indices einer vierten die Lage der letzteren ünden kann , ohne 

 die Axenelemente zu kennen. 



Im Räume können vier Flächen, von denen nicht drei in einer 

 Zone liegen , vollkommen beliebige Lage gegen einander haben. Alle 

 übrigen Flächen müssen daraus ableitbar sein. Es werden also zwischen 

 den Winkeln, welche zwischen diesen vier Flächen und einer beliebigen 

 fünften krystallographisch möglichen Fläche liegen , zwei Relationen be- 

 stehen müssen. Um die Aufstellung dieser Relationen handelt es sich in 

 vorliegender Arbeit. 



Aus diesen Relationen folgt dann ferner, dass man aus den Winkeln, 

 welche zwischen vier Flächen liegen, von denen nicht drei einer Zone an- 

 gehören, die Lage jeder beliebigen krystallographisch möglichen Fläche 

 ohne die Axenelemente zu kennen, bestimmen kann, wofern nur ihre Indices 

 gegeben sind. 



Als speci eller Fall des im Folgenden abgeleiteten Satzes ergiebt 

 sich für vier Flächen, welche in einer Zone liegen, der GAUSs'sche Satz. 

 Es bezeichne: 



Nj^ eine Fläche oder deren Normale, 



/jjIj = yy^yi Cosinus des Winkels, den Nj^ und Nj^ miteinander 

 bilden. 



^hi' ^h2' %3 Indices der Fläche Nj^. 



Geht man von drei beliebigen Krystallflächen N^^ N2 und N3 aus, so 

 lassen sich die Indices irgend einer Fläche N^^ in der Form: 



fxi = ^xi^ii + ^x2^2i + m^s^si [i = 1' 2, 3, 

 darstellen, worin die m ganze Zahlen sind, deren Vorzeichen sich darnach 



^ Th. Liebisch, Geometrische Krystallographie, Leipzig 1881, 37 f. 



