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richtet, in welchem der acht durch die ersten Normalen bestimmten Winkel- 

 räume die neue Normale liegt e 

 Setzt man die Determinanten: 



(1) 



Tu 7x2 7iz 



721 7-22 ^23 ~ 



731 /'32 J'33 



^ X 1 2 7x3 



I ^^h + 1, k + 1 rii + 1, k 

 i /'h + 2, k + 1 7h + 2, k 



^hk 



I 3 (X) 



^^h + 1, 1 7h + 1, 2 /'h -{- 1, 3 I = -^k;'xk'^lik = 



7h-\-2, 1 7h + 2, 2 7h-^2,S\ ^ 



so gilt, wie an anderer Stelle ^ bewiesen ist, folgende Proportion: 

 ^/^^ : .-//^^ : 43^^^ = m^ys;7 : ^x2V^2 '■ ^x^V^s^ 



worin die S in gewisser Weise aus den Indices der Flächen N^ Ng Ng und 

 den Axenelementen des Krystalls zusammengesetzt sind, aber die Grösse x 

 nicht enthalten. 



Für eine beliebige andere Fläche Ny gilt die analoge Proportion: 



z^/^^ : .//^^ : z//^^ = my.yS;; : my^Vs;; : m^^S;,. 

 Dividirt man (3) durch (2), so ergiebt sich: 

 (4) j^^m^ 



Da die Grössen m ganze Zahlen sind, folgt also, dass 



die Verhältnisse der drei Quotienten der Grössen 

 z/|^ für zwei beliebige kry stallogr aphisch mögliche 

 Flächen rationale Zahlen sind. 

 Dieser Satz ist ein Analogon zu dem Satze von Gauss über die ra- 

 tionalen Doppelverhältnisse von vier Flächen, die in einer Zone liegen. 



Durch denselben sind zwei Funktionen der Winkel, welche zwischen 

 fünf krystallographisch möglichen Flächen liegen , bestimmt, welche ra- 

 tionale Zahlen sein müssen. Wegen ihrer Rationalität müssen diese 

 Grössen denselben Werth behalten, auch wenn die Temperatur sich ändert; 

 sie sind also constant für den Flächencomplex. Über diesen Complex 

 ist nur vorausgesetzt, dass N^ N.^ N3 nicht in einer Zone liegen. N^^ und 

 Ny können beliebig liegen. Fallen letztere in eine der durch die ersten 

 Flächen bestimmte Zone, so folgt aus obigem Satz als specieller Fall 



der GAUss'sche Satz, wie weiter unten bewiesen werden soll. 



(x) 



Sind für eine Fläche N^ die Verhältnise der gegeben, so folgen 



aus (4) für jede andere Fläche Ny , deren Indices gegeben sind , die Ver- 



(y) 



hältnisse der z/j^ , wodurch die Lage von Ny vollständig bestimmt ist. 



^ B. Hecht, Beiträge zur Krystallberechuung. Dies. Jahrb. Beil.-Bd. V, 

 587, 1887. 



B. Hecht, a. a. 0. 591—593, Gleichung (4) und (6). 



