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Man kann nämlich auf folgende Weise leicht die Verhältnisse der Cosinus 

 ableiten, die mit und X3 bildet. Es ist: 



(y) 



^ /hm h ^ ^ /yk/hni lik ^ym- 



Folo'lich 



3 (V) 3 (Y) 3 (y) 



111 



= :^7^i~~^h •3;'ii2-^4i -37113--— A • 



1 ^xh 1 ^xh 1 



Die Constanten Verhältnisse 



^^yl . ^-2 . "V3 

 ^Xl ■ ^2 ■ 1^x3 



m. 



entsprechen ebenfalls den constanten Doppelverhältnissen der vier in einer 

 Zone liegenden Flächen und lassen sich wie jene durch Determinanten der 

 Indices der fünf Flächen ausdiiicken. Sie sind nämlich gleich : ^ 



;£yl ^2 fy3 ^1 ^2 f^sj I £yi ^ y 2 



^21 ^22 ^23 . ^31 ■^32 -^33 ' "^11 -^12 -^13 



4l ^32 -^3 -^11 ■'-12 -^13 -^'21 -'•22 -^23 



(6) 



!^l ^2 ^3 ^Xl ^X2 ^x3 ^1 ^X2 ^3' 



j 4l ^22 ^23 ^31 ^2 ^'33 ^11 ^12 ^13 ' 



' f f 1 f f f f f f 



I ^31 ^32 ^3 ^11 -^12 -^13 -^21 "^22 ^23 



Da diese Verhältnisse nur von den Winkeln der 5 Flächen abhängen, 

 müssen dieselben bei jeder Transformation der Indices ungeändert bleiben. 

 Daraus ergiebt sich eine einfache Ableitung der allgemeinsten Transfor- 

 mationsformeln ^. 



Sind die gegebenen neuen Indices von Xj X^ Xg und X^ gleich g^ 

 &2i' ^3i' ^xi' sollen die neuen Indices von X^., g^^ genannt, berechnet 

 werden. Wegen der Constanz der Verhältnisse: 



. (y) . (y) . (y) 

 A . ^ . 4_ 



(X) • (X) • (X) 

 • V - • 1, ^ ^1 ^2 ^3 



ergiebt sich dann: 



: S'y 1 Sy 2 §"y 3 | 



•§'h + l, 1 S'h-fl, 2 3j = 



g'h +2,1 §"11 — 2. 2 §'ll 4- 2, 3 I 



1 B. Hecht, a. a. 0., 591, Gleichung (41 



- Vgl. Th. Liebisch, a. a. 0., 56. — B. Hecht, a. a. 0. 608 u. 609, 

 Gleichung (18) und (20). 



